本文旨在整理一些集合论中的基础概念与定理，主要出处见参考文献。
本文只列出特别简单的证明，略去复杂的证明。
1 集合论基础
首先，我们介绍Cartesian product（笛卡尔积、直积）\(A\times B\)，就是从\(A\)中、\(B\)中各取一个元素组成的有序数对。如果是\(n\)个集合，它们的Cartesian product就是一个\(n\)-tuples：
所谓Relation（关系），是\(A\times A\)的任一子集，就叫a relation \(R\) on set \(A\)。如果\((x,y)\in R\)，则可写为\(xRy\)。\(R\)可能的性质有：
- Reflexive（自反性）：\(xRx\)；
- Symmetric（对称性）：若\(xRy\)则必有\(yRx\)；
- Antisymmetric（反对称）：若\(xRy\)且\(yRx\)，则必有\(x=y\)；
- Transitive（传递性）：若\(xRy\)且\(yRz\)，则必有\(xRz\)。
Equivalence relation（等价关系），就是自反、对称、传递的关系。
给定\(A\)上的一个equivalence relation \(R\)，那么\(A\)中的元素\(x\)的equivalence class（等价类），就是集合\(E_x = \{y\in A:xRy\}\)。若\(E_x\)和\(E_y\)是\(x\)和\(y\)的等价类，那么必有\(E_x\cap E_y=\empty\)或\(E_x=E_y\)。
自反、反对称、传递的relation，就叫partial ordering（偏序），可以用符号\(\geq\)或\(\leq\)表示。对于任意partial ordering，如果将其中的\((x,x)\)元素剔除，就变成了strict ordering，用符号\(\gt\)或\(\lt\)表示，这种relation不再是自反的和反对称的，但依旧有传递性。如果对于集合\(A\)，每一对\((x,y)\in A\times A\)都满足\(x\lt y\)、\(x\gt y\)或\(x=y\)这三种中的一种，那么称\(A\)是linearly ordered。再进一步，定义集合\(A\)的最小元素为\(a\in A\)，它满足\(\forall x\in A, a\leq x\)（最大元素可类似定义），那么，如果linearly ordered\(A\)的每一个子集都有一个最小元素，则称\(A\)是well-ordered。
一个mapping/transformation/function定义为\(T:X\mapsto Y\)，这是一种将\(X\)中的每个元素与\(Y\)中唯一一个元素联系起来的规则。\(X\)称为domain（定义域），\(Y\)为codomain（到达域），集合\(G_T=\{(x,y):x\in X,y=T(x)\}\subseteq X\times Y\)称为graph of \(T\)。集合\(T(A)=\{T(x):x\in A\}\subseteq Y\)称为\(A\)在\(T\)下的image，对于\(B\subseteq Y\)，集合\(T^{-1}(B)=\{x:T(x) \in B\}\subseteq X\)称为\(B\)在\(T\)下的inverse image。集合\(T(X)\)称为\(T\)的range（值域），若\(T(X)=Y\)则称该mapping为from \(X\) onto \(Y\)，中文叫满射，否则是into \(Y\)。若每个\(y\)都是唯一的\(x\in X\)的image，则该mapping是one-to-one，或记为\(1\)-\(1\)，中文叫单射。
当\(X\)中的每个元素与\(Y\)中不一定唯一的元素对应起来的规则，称为correspendence，\(T^{-1}\)就是一个correspendence，但未必是mapping。若mapping是\(1\)-\(1\)且是onto的，则称该mapping为one-to-one correspendence。如果在\(X\)和\(Y\)上都定义了partial ordering，那么如果对于一个mapping，\(T(x_1)\leq T(x_2)\)当且仅当\(x_1\leq x_2\)，就称该mapping为order-preserving。若\(X\)是partial ordered，用\(\leq\)表示，那么一个\(1\)-\(1\) mapping可以induce（诱导）在codomain上的一个partial ordering。若这个mapping还是onto，那么\(X\)上的linear ordering可以induce一个\(Y\)上的linear ordering。
集合中的元素个数称为集合的cardinality或cardinal number（基数）。若\(A\)与\(B\)之间存在\(1\)-\(1\) correspondence，那么两个集合equipotent（等势）。
2 可数集合
将正自然数集合\(N^+\)的cardinal number记为\(\aleph\)。如果一个无限集合中的元素，与\(N^+\)中的元素存在\(1-1\) correspondence，那么称该集合为countable或denumerable（可数的）。
整数集\(Z\)是可数的，因为对于任意\(n\in N^+\)，让它对应于\(\lfloor n/2\rfloor (-1)^n\in Z\)即可。
定理：有理数集\(Q\)可数。
定理：The union of a countable collection of countable sets is a countable set.
注：Collection有的地方翻译为“搜集”，可理解为允许有重复元素的集合。
3 实数连续统
定理：实数集\(R\)是不可数的。
记\(R\)的cardinal number为\(c\)，则有\(\aleph<c\)。
定理：任意开区间不可数。
定理：任意开区间与\(R\)是equipotent的。
对于开区间\((a,b)\)，将任意\(x\in R\)映射为\(y=\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{(b-a)x}{2(1+|x|)}\)可证。
定理：实数平面\(R^2=R\times R\)与\(R\)是equipotent的。
定理：任意开区间都包含至少一个有理数。
对于开区间\((a,b)\)，不妨假设\(a\geq 0\)，取\(q\)为比\(1/(b-a)\)大的最小整数，取\(p\)为比\(qb\)大的最小整数，则必有\((p-1)/q \in (a,b)\)，而\((p-1)/q \in Q\)。
推论：Every collection of disjoint open intervals is countable.
因为每个开区间都至少包含一个有理数，这些不相连的开区间的collection可用其中每个开区间中的任一有理数建立对应关系，而有理数集是可数的。
下面再介绍一些有关集合的定义。集合\(A\subset R\)的supremum，如果存在，就是对于任意\(x\in A\)都满足\(x\leq y\)的最小的\(y\)，可写为\(\sup A\)；反之可定义集合\(A\)的infimum，写为\(\inf A\)。对于\(R\)的某个子集，如果有上界，必有supremum，如果有下界，必有infimum。若定义extended real line \(\bar R=R\cup \{-\infty,+\infty\}\)（即将无穷大也看作一个元素），那么所有集合都有supremum和infimum。另外记\(\bar R^+=R\cup\{+\infty\}\)。
4 集合的序列
Monotone sequence（单调序列）就是non-decreasing（指\(\forall n, A_n\subseteq A_{n+1}\)）或non-increasing指\(\forall n, A_{n}\supseteq A_{n+1}\)）的序列，也有严格的单调序列，即将包含关系换成严格包含关系\(\subset\)和\(\supset\)。
序列的limit（极限）\(A\)，就是对于non-decreasing序列的\(A=\cup_{n=1}^{\infty}A_n\)，或对于non-increasing序列的\(A=\cap_{n=1}^{\infty}A_n\)，分别可写为\(A_n\uparrow A\)和\(A_n\downarrow A\)，或一般地，\(\lim\limits_{n\to\infty}A_n = A\)，或\(A_n\to A\)。
对于任意集合序列\(\{A_n\}\)，集合\(B_n=\cup_{m=n}^{\infty}A_m\)必为non-increasing序列，因此\(B=\lim\limits_{n\to\infty}B_n\)存在，称它为\(\{A_n\}\)的superior limit，写为\(\limsup_n A_n\)。反之，non-decreasing序列\(C_n=\cap_{m=n}^{\infty}A_m\)的极限\(C\)，就是\(\{A_n\}\)的inferior limit，写为\(\liminf_n A_n\)。正式定义为
由De Morgan' s laws，\(\liminf_n A_n = \left(\limsup_n A_n^c \right)^c\)。
\(\limsup_n A_n\)其实就是infinitely many（无穷多）个\(A_n\)中都含有的元素的集合，\(\liminf_n A_n\)就是all but a finite number（除有限）个\(A_n\)外，其他\(A_n\)中都含有的元素的集合。
以上概念提供了一种集合序列的收敛准则：\(\liminf_n A_n\subseteq \limsup_n A_n\)，若两个集合不相等，则说明\(\{A_n\}\)不收敛。
5 子集的类
所有\(X\)的子集的集合成为\(X\)的power set（幂集），记为\(2^X\)。对于一个countable set，认为它的power set有\(2^\aleph\)个元素。
定理：\(2^\aleph = c\)。
接下来，要研究的是给定集合的子集的一些性质。Power set一般对研究的问题来说会显得太大了，以下的一系列定义，目的是要定义出\(2^X\)的某个子集，使得该子集对于研究的问题来说足够大，而其性质又让我们可以容易地处理。一般方法是，先选出一些已知性质的集合，组成一个基本的collection，再用一些特定操作，创造出新的集合加入其中。
定义 Ring（环）：由集合\(X\)的子集组成的非空类（nonempty class）\(\mathscr{R}\)，若满足如下性质则为ring：
- \(\empty\in\mathscr{R}\)；
- 若\(A\in\mathscr{R}\)且\(B\in\mathscr{R}\)，则\(A\cup B\in \mathscr{R}\)，\(A\cap B\in \mathscr{R}\)，\(A- B\in \mathscr{R}\)。
Ring对于union、intersection、difference的操作是closed（闭的）。但ring中不一定含有全集\(X\)自身，若加入\(X\)，就成了field（或algebra）定义：
定义 Field（域）：由\(X\)的子集组成的class\(\mathscr{F}\)，若满足如下性质则为field：
- \(X\in\mathscr{F}\)；
- 若\(A\in\mathscr{F}\)，则\(A^c\in\mathscr{F}\)；
- 若\(A\in\mathscr{F}\)且\(B\in\mathscr{F}\)，则\(A\cup B\in \mathscr{F}\)。
如果给定了一个collection\(\mathscr{C}\)，将它理解为“种子”，去生成field，那么称最小的含有\(\mathscr{C}\)的field为field generated by \(\mathscr{C}\)。
Ring和field的概念在概率论中应用起来还是会有些限制，因此引入以下定义：
定义 Semi-ring：由集合\(X\)的子集组成的非空类（nonempty class）\(\mathscr{S}\)，若满足如下性质则为semi-ring：
- \(\empty\in\mathscr{S}\)；
- 若\(A\in\mathscr{S}\)且\(B\in\mathscr{S}\)，则\(A\cap B\in \mathscr{S}\)；
- 若\(A\in\mathscr{S}\)、\(B\in\mathscr{S}\)且\(A \subseteq B\)，则\(\exist n\lt \infty\)，使得\(B-A=\cup_{j=1}^{n} C_j\)，其中\(C_j\in\mathscr{S}\)且对于\(j\neq j'\)来说\(C_j\cap C_{j'}=\empty\)。
其中的第三个性质，简单来说就是\(\mathscr{S}\)中任意两个集合的的差，可以分解为有限个\(\mathscr{S}\)中集合的union。
再在semi-ring中加入\(X\)自身，就变成了semi-algebra。
6 Sigma fields
上一节说到field对complement和finite union的操作是closed，我们接着将它的finite union操作扩展到极限处，这就有了如下概念。
定义 \(\sigma\)-field（sigma-algebra）：由\(X\)的子集组成的class\(\mathscr{F}\)，若满足如下性质则为sigma-field：
- \(X\in\mathscr{F}\)；
- 若\(A\in\mathscr{F}\)，则\(A^c\in\mathscr{F}\)；
- 若\(\{A_n,n\in N^+\}\)为\(\mathscr{F}\)中的集合的序列，则\(\cup_{n=1}^{\infty} A_n\in \mathscr{F}\)。
\(\sigma\)-field对于complement和countable union是closed。若给定一个collection\(\mathscr{C}\)，所有含有\(\mathscr{C}\)的\(\sigma\)-field的交集，就叫\(\sigma\)-field generated by \(\mathscr{C}\)，可记为\(\sigma(\mathscr{C})\)。
定理：若\(\mathscr{C}\)是一个finite collection，则\(\sigma(\mathscr{C})\)也是finite，否则\(\sigma(\mathscr{C})\)总是uncountable。
若取\(X=R\)，\(\mathscr{C}=\{(-\infty,r]: r\in Q\}\)，则\(\sigma(\mathscr{C})\)就叫Borel field of \(R\)，一般可记为\(\mathscr{B}\)。许多不同的collection都可以生成出\(\mathscr{B}\)。若给定一个实区间\(I\)，则\(\mathscr{B}_I = \{B\cap I: B\in\mathscr{B}\}\)称为the restnctlon of \(\mathscr{B}\) to \(I\)，或Borel field on \(I\)。事实上，\(\mathscr{B}_I\)可由\(\mathscr{C}=\{(-\infty,r]\cap I: r\in Q\}\)生成。
对于两个\(\sigma\)-field的union不一定是\(\sigma\)-field，将最小的包含了两个\(\sigma\)-field\(\mathscr{F}\)和\(\mathscr{G}\)中所有元素的\(\sigma\)-field记为\(\mathscr{F}\vee\mathscr{G}\)。但对于两个\(\sigma\)-field的intersection\(\mathscr{F}\cap\mathscr{G}=\{A:A\in \mathscr{F} \quad\text{and} \quad A \in\mathscr{G}\}\)，它必定是\(\sigma\)-field，为了统一符号，可以写为\(\mathscr{F}\wedge\mathscr{G}\)，它就是保证元素同时属于\(\mathscr{F}\)和\(\mathscr{G}\)的最大的\(\sigma\)-field。这两个概念都可以推广到可数多个的情形。
概率论和测度论中，大量的工作都是在证明某个class of sets是\(\sigma\)-field。对于证明来说，\(\sigma\)-field定义中的三条性质，前两条都很容易验证，但最后一条要验证却很困难。为此我们定义一种monotone class（单调类）\(\mathscr{M}\)，它也是由一些集合组成：若\(\{A_n\}\)是monotone sequence，有极限\(A\)，且\(\forall n, A_n\in\mathscr{M}\)，则\(A\in \mathscr{M}\)，称这样的\(\mathscr{M}\)为monotone class。利用它和下面的定理，可以方便地证明一些class是\(\sigma\)-field。
定理：\(\mathscr{F}\)是\(\sigma\)-field，当且仅当\(\mathscr{F}\)是field且它是一个monotone class。
利用这个定理，在考虑一个class是不是\(\sigma\)-field时，我们只需要考虑monotone sequences的极限是否属于它即可。
另一个常用的技巧是Dynkin's \(\pi\)-\(\lambda\) Theorem。对此需要先介绍两个概念做铺垫。
定义 \(\pi\)-system：有一个class\(\mathscr{P}\)，若\(A\in\mathscr{P}\)且\(B\in\mathscr{P}\)，则\(A\cap B \in \mathscr{P}\)，那么\(\mathscr{P}\)就是\(\pi\)-system。
定义 \(\lambda\)-system：有一个class\(\mathscr{L}\)，若它满足以下性质，那么\(\mathscr{L}\)就是\(\lambda\)-system：
- \(X\in \mathscr{L}\)；
- 若\(A\in\mathscr{L}\)、\(B\in\mathscr{L}\)且\(B\subseteq A\)，则\(A-B\in\mathscr{L}\)；
- 若\(\{A_n\in\mathscr{L}\}\)是non-decreasing sequence，且\(A_n\uparrow A\)，则\(A\in\mathscr{L}\)。
前两个条件说的是\(\lambda\)-system对于complement是closed。并且由于第二条意味着\(\forall n, B_n=A_{n+1}-A_n\in\mathscr{L}\)，所以第三条也说明了，\(\mathscr{L}\)中的disjoint sets的countable union依然在\(\mathscr{L}\)中。利用这点，有以下定理。
定理：一个class\(\mathscr{L}\)是\(\lambda\)-system，当且仅当：
- \(X\in \mathscr{L}\)；
- 若\(B\in\mathscr{L}\)，则\(B^c\in\mathscr{L}\)；
- 若\(\{A_n\in\mathscr{L}\}\)是disjoint sequence，则\(\cup_n A_n\in\mathscr{L}\)。
\(\sigma\)-field必定是\(\lambda\)-system，同时是\(\pi\)-system和\(\lambda\)-system的class必定是\(\sigma\)-field。
下面的定理用到了这些定义。
定理 Dynkin's \(\pi\)-\(\lambda\) Theorem：若\(\mathscr{P}\)是一个\(\pi\)-system，\(\mathscr{L}\)是一个\(\lambda\)-system，且\(\mathscr{P}\subseteq \mathscr{L}\)，则\(\sigma(\mathscr{P})\subseteq \mathscr{L}\)。
参考文献
- Davidson, J., 1994. Stochastic limit theory: An introduction for econometricians. OUP Oxford.
