Median Replace

有个奇数长度的01串\(s\)，其中有若干位置是?。

每次可将\(3\)个连续的字符替换成这三个数的中位数。

求有多少方案将?替换成0/1使得进行\(\frac{N-1}{2}\)次操作后的字符串是1？

\(1\leq |S|\leq 300000\)。

题解

仓鼠《动态规划选讲》。

很多这样的题，套路就是先考虑一个判定的过程，然后把过程写到DP里面去就可以了。所有我们先考虑判定的过程。

维护一个栈，这个栈满足存在一个分界点，前面全是1后面全是0。这里前面后面指的是，把栈从栈底向栈顶写下来。然后从左往右扫。

如果当前是0，就把0压入到栈里面去。如果有连续的三个0，可以把这\(3\)个0消掉\(2\)个变成\(1\)个0。

如果当前是1，当栈顶是一个0的时候显然可以相互抵消（因为再找一个数取中位数，取决于再找的数），否则直接压入栈。

一个显然的事情是，栈里面0的个数不超过\(2\)。同时，当栈里面1的个数达到\(2\)时，那么最终一定可以让字符串变成1。因此，当1的个数超过\(2\)时，可以看成就是\(2\)。

所以栈的种类数只有\(3 × 3 = 9\)种。

最终可以变成1的条件，就是最后的栈里面1个数不少于0个数。

直接把当前栈长成什么样记下来，从左往右DP即可。

时间复杂度是\(O(N)\)。

CO int N=3e5+10;
char str[N];
int F[N][3][3];

int main(){
  scanf("%s",str+1);
  int n=strlen(str+1);
  F[0][0][0]=1;
  for(int i=1;i<=n;++i){
    for(int j=0;j<=2;++j)for(int k=0;k<=2;++k){
      if(str[i]!='0'){
        if(k) chkadd(F[i][j][k-1],F[i-1][j][k]);
        else chkadd(F[i][min(j+1,2)][k],F[i-1][j][k]);
      }
      if(str[i]!='1'){
        if(k==2) chkadd(F[i][j][1],F[i-1][j][k]);
        else chkadd(F[i][j][k+1],F[i-1][j][k]);
      }
    }
  }
  int ans=0;
  for(int i=0;i<=2;++i)for(int j=0;j<=i;++j)
    chkadd(ans,F[n][i][j]);
  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}