大家好，我是程序员学长。
今天我们来聊一聊最长递增子序列这个问题。
如果喜欢，记得点个关注哟~
问题描述
给你一个整数数组nums，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
示例：
输入：nums = [2,1,6,3,5,4]
输出：3
解释：最长递增子序列是 [1,3,4]，因此长度为 3。
分析问题
对于以第i个数字结尾的最长递增之序列的长度来说，它等于以第j个数字结尾的最长递增子序列的长度的最大值+1，其中 0<j<i，并且nums[j] < nums[i]。例如，对于以5结尾的最长递增子序列的长度，他等于以3结尾的最长递增子序列的长度+1。
所以，我们定义一个数组dp，其中dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列的长度。则可以很容易的知道状态转移方程为：dp[i]=max(dp[j])+1，其中0<j<i 且 nums[j]<nums[i]。即考虑dp[0...i-1]中最长的递增子序列的后面添加一个元素nums[i]，使得新生成的子序列满足递增的条件。
最后，整个数组的最长递增子序列的长度为数组dp中的最大值。
下面我们来看一下代码的实现。
def lengthOfLIS(nums):
#如果数组为空，直接返回
if not nums:
return 0
dp = []
#从头遍历数组中的元素
for i in range(len(nums)):
dp.append(1)
#在dp中寻找满足条件的最长递增子序列
for j in range(i):
if nums[i] > nums[j]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
return max(dp)
print(lengthOfLIS([2,1,6,3,5,4]))
时间复杂度是O(n^2)，其中n为数组nums的长度。因为对于数组nums的每个元素，我们都需要O(n)的时间去遍历dp中的元素。
空间复杂度是O(n)，其中n为数组nums的长度。
优化
这里，我们也可以使用贪心的思想来解决。由于题目是求最长的递增子序列，要想使得递增子序列的长度足够长，就需要让序列上升的尽可能的慢，因此我们希望每次在上升子序列最后加上的那个数尽可能的小。
我们维护一个数组d，其中d[i]表示长度为i的递增子序列的末尾元素的最小值，比如对于序列[2,1,6,3,5,4]来说，子序列1,3,5和1,3,4都是它的最长的递增子序列，则d[3]=4，因为4<5。
同时，我们也可以注意到数组d是单调递增的，即对于j<i ，那么d[j]<d[i]。我们可以使用反证法来证明，假设存在j<i时，d[j]>=d[i]，我们考虑从长度为i的最长子序列的末尾删除i-j个元素，那么这个序列的长度变为j，且第j个元素x必然是小于d[i]的（因为是递增子序列，d[i]在x的后面，所以d[i]>x），又因为d[j]>d[i]的，所以可以得出x<d[j]的。那么我们就找到了一个长度为j的子序列，并且末尾元素比d[j]小，这与题设矛盾，从而可以证明数组d是单调递增的。
我们依次遍历数组中的元素，并更新数组d和len的值。如果nums[i] > d[len]，则len=len+1，否则在数组d中，找到第一个比nums[i]小的数d[k]，并更新d[k+1]=nums[i]。
def lengthOfLIS(nums):
d = []
#遍历数组中的元素
for n in nums:
#如果n比数组d的最后一个元素大，则加入数组中
#否则，在d中寻找第一个小于n的元素的位置
if not d or n > d[-1]:
d.append(n)
else:
l = 0
r = len(d) - 1
k = r
while l <= r:
mid = (l + r) // 2
if d[mid] >= n:
k = mid
r = mid - 1
else:
l = mid + 1
d[k] = n
return len(d)
该算法的时间复杂度是O(nlogn)。我们依次遍历数组nums，然后用数组中的元素去更新数组d，而更新数组d时，我们采用二分查找的方式来定位要更新的位置，所以时间复杂度是O(nlogn)。由于需要一个额外的数组d来保存，所以空间复杂度是O(n)。
进阶
下面我们把题目再修改一下，给定数组nums，设长度为n，输出nums的最长递增子序列。（如果有多个答案，请输出其中按数值进行比较的字典序最小的那个）。
示例：
输入：[1,2,8,6,4]
返回值：[1,2,4]
说明：其最长递增子序列有3个，（1，2，8）、（1，2，6）、（1，2，4）其中第三个按数值进行比较的字典序最小，故答案为（1，2，4）
由于题目要求输出最长递增子序列中数值最小的那个，所以我们要在上一题的基础上进行修改，这里引入一个数组maxlen，用来记录以元素nums[i]结尾的最长递增子序列的长度。
在得到数组maxlen和数组d之后，我们可以知道该序列的最长递增子序列的长度是len(d)。然后从后遍历数组maxlen，如果maxlen[i]=len(d)，我们将对于元素返回结果res中，依次类推，直到遍历完成。
Tips:为什么要从后往前遍历数组maxlen呢？假设我们得到的maxlen为[1,2,3,3,3]，最终的输出结果为res（字典序最小的最长递增子序列），那么res的最后一个元素在nums中位置为maxlen(i)==3对于的下标i，此时数组nums中有三个元素对应的最长递增子序列的长度为3，即nums[2]、nums[3]和nums[4]，那到底是哪一个呢？如果是nums[2]，那么nums[2] < nums[4] ，则maxlen[4]=4，与已知条件相悖，因此我们应该取nums[4]放在res的最后一个位置。所以需要从后先前遍历。
def lengthOfLIS(nums):
#最长递增子序列
d = []
#记录以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度
maxlen = []
#遍历数组中的元素
for n in nums:
#如果n比数组d的最后一个元素大，则加入数组中
#否则，在d中寻找第一个小于n的元素的位置
if not d or n > d[-1]:
#更新最长递增子序列
d.append(n)
#更新以n为结尾元素的最长递增子序列
maxlen.append(len(d))
else:
l = 0
r = len(d) - 1
k = r
while l <= r:
mid = (l + r) // 2
if d[mid] >= n:
k = mid
r = mid - 1
else:
l = mid + 1
#更新最长递增子序列
d[k] = n
#更新以n为结尾元素的最长递增子序列
maxlen.append(k+1)
#求解按字典序最小的结果
#此时我们知道最长长度为len(d)，从后向前遍历maxLen，
#遇到第一个maxLen[i]==len(d)的下标i处元素arr[i]即为所求
lens = len(d)
res = [0] * lens
for i in range(len(maxlen)-1,-1,-1):
if maxlen[i]==lens:
res[lens-1]=nums[i]
lens=lens-1
return res
print(lengthOfLIS([1,2,8,6,4]))
该算法的时间复杂度是O(nlogn)，空间复杂度是O(n)。
最后
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