【dp】最长递增子序列和最长递增子序列的个数

最长递增子序列

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> dp(n, 1); // dp[i]：算上nums[i]，最长递增子序列的长度
        int ans = 1;
        for(int i = 1; i < n; i++){
            for(int j = 0; j < i; j++){
                // 遍历nums[0 ~ i-1]，找比nums[i]小的元素nums[j]
                // 求出使用nums[i]能构成的最长递增子序列的长度dp[i]
                if(nums[j] < nums[i]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
            ans = max(ans, dp[i]);
        }
        return ans;
    }
};

最长递增子序列的个数

可以先求出dp数组，根据dp数组计算cnt数组，这种思路比较直接，好理解

当前dp[i]计算出来后，就可以查看0 ~ i-1元素中哪些元素比nums[i]小，且最长子序列长度dp[j]比当前最长子序列长度dp[i]小1，说明当前最长子序列长度用到了j号元素，cnt[i] += cnt[j]

class Solution {
public:
    int findNumberOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> dp(n, 1); // dp[i]：算上nums[i]，最长递增子序列的长度
        vector<int> cnt(n, 0);
        cnt[0] = 1;
        int max_len = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] < nums[i]) {
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
            max_len = max(max_len, dp[i]);
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                // 算上nums[i]，当前最长递增子序列的个数
                if (dp[j] == dp[i] - 1 && nums[j] < nums[i]) cnt[i] += cnt[j]; 
            }
            // 无法和前面的数构成递增序列，自己就是一个递增序列
            if (cnt[i] == 0) cnt[i] = 1;
        }
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (dp[i] == max_len) ans += cnt[i];
        }
        return ans;
    }
};

dp数组和cnt数组也可以同步动态更新

需要遍历dp[0 ~ i-1]，才能求出dp[i]，如果前面某个dp[j] + 1大于当前dp[i]，则说明构成当前最长子序列dp[i]，可能用到nums[j]，更新dp[i]的同时更新cnt[i]，直接用cnt[j]赋值

如果遍历dp[0 ~ i-1]的过程中，又遇到了一个dp[j]，可以构成和当前一样长的子序列，则说明通过当前dp[j]也可构成和目前子序列一样长的递增子序列，则cnt[i] += cnt[j]

class Solution {
public:
    int findNumberOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> dp(n, 1);  // dp[i]：算上nums[i]，递增子序列的长度
        vector<int> cnt(n, 1); // cnt[i]：使用nums[i]，递增子序列的个数
        int max_len = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] < nums[i]) {
                    if(dp[j] + 1 > dp[i]){
                        // 从下标j的位置和下标i的位置，可以构成递增子序列
                        // 在0 ~ i-1范围内，找到了更长的递增子序列，cnt[i]用cnt[j]更新
                        dp[i] = dp[j] + 1;
                        cnt[i] = cnt[j];    // 记录构成更长递增子序列的序列数量
                    }else if (dp[j] + 1 == dp[i]){
                        // 使用当前的j号元素和当前i号元素，也可构成递增子序列，加上cnt[j]
                        cnt[i] += cnt[j];
                    }
                }
            }
            max_len = max(max_len, dp[i]);
        }
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (dp[i] == max_len) ans += cnt[i];
        }
        return ans;
    }
};