欧几里德算法（辗转相除算法）练习

  

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理： 定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b。

假设d是a,b的一个公约数，则有：a % d == 0 , b % d == 0，而r = a - kb，因此 r % d == 0 。因此d是(b,a mod b)的公约数。

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则b % d == 0 , r % d == 0 ，但是a = kb +r 所以 a % d == 0。因此d也是(a,b)的公约数。

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。欧几里德算法就是根据这个原理来做的。

1 /*==================================================*\
 2 | GCD 最大公约数
 3 \*==================================================*/
 4 int gcd(int x, int y)
 5 {
 6      if (!x || !y) return x > y ? x : y;
 7 
 8      for (int t; t = x % y; x = y, y = t);
 9     
10      return y;
11 }

View Code——GCD

1 /*==================================================*\
 2 | 快速 GCD
 3 \*==================================================*/
 4 int kgcd(int a, int b)
 5 {
 6     if (a == 0) return b;
 7     if (b == 0) return a;
 8     if (!(a & 1) && !(b & 1)) 
 9         return kgcd(a>>1, b>>1) << 1;
10     else if (!(b & 1)) 
11         return kgcd(a, b>>1);
12     else if (!(a & 1)) 
13         return kgcd(a>>1, b);
14     else return 
15         kgcd(abs(a - b), min(a, b));
16 }

View Code——Stein算法

1 /*==================================================*\
 2 | 扩展 GCD
 3 | 求x, y使得gcd(a, b) = a * x + b * y;
 4 \*==================================================*/
 5 int extgcd(int a, int b, int & x, int & y)
 6 {
 7     if (b == 0) 
 8     { 
 9         x=1; y=0; 
10         return a; 
11     }
12     int d = extgcd(b, a % b, x, y);
13     
14     int t = x; x = y; y = t - a / b * y;
15     
16     return d;
17 }

View Code——扩展GCD