前置芝士
在三角形中有一个广为人知的“奔驰定理”
如图，对于任意\(\Delta ABC\)内部一点\(O\)，都有\(S_{\Delta BOC} \cdot \overrightarrow{OA} + S_{\Delta AOC} \cdot \overrightarrow{OB} + S_{\Delta AOB} \cdot \overrightarrow{OC} = \vec{0}\)
下面给出其中一种较为暴力的证明方法：
以\(O\)点为坐标原点建立直角坐标系\(xOy\)，设\(A(x_{A},y_{A})\),\(B(x_{B},y_{B})\),\(C(x_{C},y_{C})\)
利用向量叉乘，表示出三个子三角形的面积：
\[S_{\Delta BOC}=\frac{\left|x_{B}y_{C}-y_{B}x_{C}\right|}{2} \]
\[S_{\Delta AOC}=\frac{\left|x_{A}y_{C}-y_{A}x_{C}\right|}{2} \]
\[S_{\Delta AOB}=\frac{\left|x_{A}y_{B}-y_{A}x_{B}\right|}{2} \]
代入需证明的式子中即得证
当\(O\)在\(\Delta ABC\)外部时同样会得到一个变形，例如当\(O\)在\(BC\)异侧时，有：
\[-S_{\Delta BOC} \cdot \overrightarrow{OA} + S_{\Delta AOC} \cdot \overrightarrow{OB} + S_{\Delta AOB} \cdot \overrightarrow{OC} = \vec{0} \]
证明方法相同，略
五种特殊情况
重心
因为\(S_{\Delta AOB}=S_{\Delta AOC}=S_{\Delta BOC}\)
所以
\[\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0} \]
外心
由于\(|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|\)
那么\(<\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}>=2\angle ACB , <\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}>=2\angle ABC , <\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}>=2\angle BAC\)
又因为有面积公式\(S_{\Delta}=\frac{1}{2}ab\sin C\)
则可以推出
\[\sin 2A \cdot \overrightarrow{OA} + \sin 2B \cdot \overrightarrow{OB} + \sin 2C \cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0} \]
内心
因为\(OD=OE=OF\)且\(OD \bot c , OE \bot b , OF \bot a\)
所以
\[a \cdot \overrightarrow{OA} + b \cdot \overrightarrow{OB} + c \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0} \]
由正弦定理，可以将式子进一步变形：
\[\sin A \cdot \overrightarrow{OA} + \sin B \cdot \overrightarrow{OB} + \sin C \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0} \]
垂心
观察到\(|\overrightarrow{OA}|\cos \angle AOB = |\overrightarrow{OC}|\cos \angle BOC = -OE\)
所以
\[\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC} (\angle A , \angle B , \angle C \in [0,\pi]) \]
当\(\Delta ABC\)不是直角三角形时
注意到\(\frac{S_{\Delta AOB}}{S_{\Delta AOC}}=\frac{BF}{CF}=\frac{\tan C}{\tan B}\)，则\(S_{\Delta OBC} : S_{\Delta OAC} : S_{\Delta OAB} = \tan A : \tan B : \tan C\)
运用奔驰定理可获得：
\[\tan A \cdot \overrightarrow{OA} + \tan B \cdot \overrightarrow{OB} + \tan C \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0} (\angle A , \angle B , \angle C \neq \frac{\pi}{2}) \]
旁心
使用先前给出的奔驰定理变形,同理内心的情况
\[-a \cdot \overrightarrow{OA} + b \cdot \overrightarrow{OB} + c \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0} \]
