最大权闭合子图

一、概念

(1) 闭合图
在图\(G\)中，若子图\(G'=(V,E)\)满足其中所有点的出边所指向的点仍属于集合\(G'\)，则成这个子图为闭合图。

(2) 最大权闭合子图
给集合\(G\)中每个点赋予点权，点权之和最大的闭合子图称为最大权闭合子图。

二、求解

(1) 考虑一个有向图\(G\)

最大权闭合子图_植物大战僵尸

边权这里代表的是依照题意而连接的关系。

(2) 将正点权上发，将负点权下放，分别连接超级源点\(S\)和超级汇点\(T\)

最大权闭合子图_建模_02

先别急为什么负点权连出正边权和原关系连inf，继续往下看

(3) 找到一个割集

/*- 性质
①这个割集一定是简单割。

简单割：任取$E \in$割集，它一定连接$S$或$T$

证明：权值为inf的点不可能被割掉

②图$S$(即含超级源点$s$的图)一定是一个闭合图，且这个闭合图和简单割一一对应

闭合图根据割的定义其实是一定的
*/

好吧我在上面的定义中有点不太明白

我觉得图的任意割集产生的与源点S相连的图一定是闭合图也是对的=_=。。

(4) 求解最小割

引理：最小割产生的\(S\)图一定是一个最大权闭合图

证明：设\(S\)图的点权之和为\(C=C_1+C_2\)，其中正点权为\(C_1\)，负点权为\(C_2\)(这个是负的)。设割集中边权和为\(W=W_1+W_2\)，正边权（与\(S\)相连的被割掉的边）和为\(W_1\)，负边权和为\(W_2\)(这个是正的)

\(C+W=C_1+C_2+W_1+W_2\)

因为负点归为\(S\)得割掉与\(T\)相连的边，所以\(C_2+W_2=0\)

\(C+W=C_1+W_1\)

显然右边即为图\(G\)中所有正点权之和,即为\(Sum\)，是一个定值。

\(C=Sum-W\)

若使\(C\)最大，则\(W\)最小，当\(W\)在数值上最小的时候，即为最小割

(5) 实际问题建模(我做一个应该就会更新一个啦)

植物大战僵尸