基础数论笔记
笔者年尚十四,水平极为有限,该笔记主要基于《具体数学》,并对一些部分作出了一些不那么令人费解的解释,望大家指出错误,感激不尽。
整除性
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\(\gcd(n,m)=\max\{~k~|~~k~|~n~,~k~|~m\}\)
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\(\text{lcm}(n,m)=\min\{~k~|~~k>0~,n~|~k~,~m~|~k\}\)
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\(\gcd(0,n)=n\),\(\gcd(m,n)=\gcd(n~mod~m,m)~~m>0\)
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\(k|m~,~k|n \Leftrightarrow k|\gcd(n,m)\)
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\(\gcd(n,m) \times \text{lcm}(n,m)=n \times m\)
\[\because \gcd(n,m)=\prod_{p} p^{\min (n_p,m_p)}~,~\text{lcm}(n,m)=\prod_{p} p^{\max (n_p,m_p)} \\ \therefore \gcd(n,m) \times \text{lcm}(n,m)=\prod_{p} p^{\min (n_p,m_p)} \times \prod_{p} p^{\max (n_p,m_p)}=\prod_{p} p^{n_p+m_p} \] -
\(\gcd(n,m)=\gcd(kn,km)~,\text{lcm}(n,m)=\text{lcm}(kn,km)~~k>0\)
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\(\gcd(a_1,a_2,···a_n)=gcd(a1,gcd(a_2,···a_n))\)
\[即证明~\gcd~的结合律\\ \\下证\gcd(a,\gcd(b,c))=\gcd(\gcd(a,b),c)\\ \because \gcd(a,b)=\prod_{p} p^{\min (a_p,b_p)},\gcd(b,c)=\prod_{p} p^{\min (b_p,c_p)}\\ \therefore \gcd(a,\gcd(b,c))=\prod_{p} p^{\min (a_p,\min(b_p,c_p))}\\ \gcd(\gcd(a,b),c)=\prod_{p} p^{\min (\min(a_p,b_p),c_p)}\\ \because \min~函数具有结合律\\ \therefore \prod_{p} p^{\min (a_p,\min(b_p,c_p))}=\prod_{p} p^{\min (\min(a_p,b_p),c_p)}=\prod_{p} p^{\min (a_p,b_p,c_p)}\\ \therefore \gcd(a,\gcd(b,c))=\gcd(\gcd(a,b),c),\gcd~函数具有结合律 \]
素数
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算数基本定理:仅有一种方式将 \(n\) 按照素数非减的次序写成素数的乘积
说人话大概是这样:
\[显然的表示是 n=\prod^m_{k=1}p_k~~p_1\leq···\leq p_m \\ 个人喜欢像这样表示~n=\prod_{p}p^{n_p}~~任意~n_p\geq0 \]第二种表示中的 \(n_p\) 是一个数系,表示 \(n\) 的素因子 \(p\) 的指数,因为有大量的 \(n_p\) 为 \(0\) ,所以第二中表示实际上是一个有限的乘积
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\(k=mn \Leftrightarrow k_p=m_p+n_p\) (初中知识)
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\(m|n \Leftrightarrow 任意~m_p\leq n_p\)
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\(\gcd(n,m)=\prod_{p} p^{\min (n_p,m_p)}~,~\text{lcm}(n,m)=\prod_{p} p^{\max (n_p,m_p)}\)
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存在比任意给定素数集合更多的素数 ——欧几里得
\[设一个数~x=2\times3\times5\times···\times p_k+1 \\ 那么由于~p_1···p_k~都能整除~x-1~,所以~p_1···p_k~都不能整除~x~ \\ 所以在~x~的素因子中必然均为异于~p_1···p_k~的素数,甚至~x~就是一个素数 \]
同余
可以差不多默认为整数取余
- \(a \equiv b~且~d \equiv c \Rightarrow a\pm b \equiv c\pm d\mod m\)
- \(a\equiv b~且~c\equiv d\Rightarrow ac\equiv bd \mod m\)
- \(ad\equiv bd~且~\gcd(d,m)=1\Leftrightarrow a\equiv b \mod m\)
- \(ad\equiv bd \mod m\Leftrightarrow a\equiv b \mod m/\gcd(d,m)\)
- \(a\equiv b \mod km\Rightarrow a\equiv b \mod m\)
- \(a\equiv b \mod m~且~a\equiv b \mod n\Leftrightarrow a\equiv b \mod \text{lcm}(m,n)\)
- \(a\equiv b \mod m\Leftrightarrow a\equiv b \mod p^{m_p}\)
费马小定理
- \(p~为素数,\gcd(a,b)=1,a^{p-1}\equiv 1 \mod p\)