矩阵论 - 10 - 四个基本子空间

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mob604756e75222 2021-10-12 21:48:00

For some vectors b the equation Ax = b has solutions and for others it does not. Some vectors x are solutions to the equation Ax = 0 and some are not. To understand these equations we study the column space, nullspace, row space and left nullspace of the matrix A.

四个基本子空间

四个子空间 Four subspaces

对于任意的 \(m \times n\) 矩阵 \(A\)，若 \(rank(A)=r\) ，则有：

行空间 \(C(A^T)\)
- \(A\) 的行向量的线性组合在 \(\mathbb{R}^n\) 空间中构成的子空间，也就是矩阵 \(A^T\) 的列空间。
- \(C(A^T) \in \mathbb{R}^n, dim C(A^T)=r\)：
  
  行空间的基：将矩阵 \(A\) 化为行阶梯矩阵：\( A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{消元、化简} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} =R \)
  
  行变换影响了 \(A\) 的列空间，所以 \(C(R) \neq C(A)\)，但行变换并不影响行空间，所以可以在矩阵 \(R\) 中看出前两行就是行空间的一组基。
  
  无论对于矩阵\(A\)还是\(R\)，其行空间的一组基，可以由行阶梯矩阵 \(R\) 的前 \(r\) 行向量组成。
零空间 \(N(A)\)
- \(Ax=0\) 的所有解 \(x\) 在 \(\mathbb{R}^n\) 空间中构成的子空间。
- \(N(A) \in \mathbb{R}^n, dim N(A)=n-r\)，自由元所在的列即可组成零空间的一组基。
列空间 \(C(A)\)
- \(A\) 的列向量的线性组合在 \(\mathbb{R}^m\) 空间中构成的子空间。
- \(C(A) \in \mathbb{R}^m, dim C(A)=r\)，主元所在的列即可组成列空间的一组基。
左零空间 \(N(A^T)\)
- 矩阵 \(A^T\) 的零空间为矩阵 \(A\) 的左零空间，是 \(\mathbb{R}^m\) 空间中的子空间。
- 为什么叫左零空间：\(A^Ty=0 \rightarrow (A^Ty)^T=0^T\rightarrow y^TA=0^T\)
- \(N(A^T) \in \mathbb{R}^m, dim N(A^T)=m-r\)：
  
  左零空间的基：
  
  应用增广矩阵 \(\left[\begin{array}{c|c}A_{m \times n} & I_{m \times n}\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{c|c}R_{m \times n} & E_{m \times n}\end{array}\right]\)
  
  将 \(A\) 通过消元得到矩阵 \(R\) ，其消元矩阵记为 \(E\) 。
  
  则有 \(EA=R\) （若 \(A\) 为可逆方阵，则有 \(E=A^{-1}\)）
  
  例子：
  
  \[\left[\begin{array}{c|c}A_{m \times n} & I_{m \times m}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c c c c|c c c}1 & 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end{array}\right]\underrightarrow{消元、化简}\left[\begin{array}{c c c c|c c c}1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 2 & 0 \\0 & 1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c|c}R_{m \times n} & E_{m \times m}\end{array}\right] \]
  
  则
  
  \[EA= \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} =R \]
  
  很明显，式中 \(E\) 的最后一行对 \(A\) 的行做线性组合后，得到 \(R\) 的最后一行，即 \(0\) 向量，也就是 \(y^TA=0^T\)。

总结

四个子空间维度以及其之间关系可以参考Gilbert Strang的图：

矩阵论 - 10 - 四个基本子空间_技术

行空间求法：将矩阵 \(A\) 化为行阶梯矩阵，前 r 行向量。
零空间求法：将矩阵 \(A\) 化为行阶梯矩阵，得出自由列个数，自由列一个个赋1，其他皆0，求解方程，得出自由列个数个特解，特解的线性组合就是 \(A\) 的零空间。
列空间求法：主元所在的列即可组成列空间的一组基。
左零空间求法：应用增广矩阵 \(\left[\begin{array}{c|c}A_{m \times n} & I_{m \times n}\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{c|c}R_{m \times n} & E_{m \times n}\end{array}\right]\) ，套用 \(EA=R\) ，使得 \(R\) 的某行为 \(0\) 的\(E\) 对应行向量。