线性代数之矩阵偏导续
矩阵偏导
针对y或者f(x)是元素，x是矩阵的情况，则元素对矩阵的求导形式如下：
那么由这个定义则有：
证明有两种方法：一种来源于矩阵偏导的定义，一种是借助矩阵迹的性质。
借助定义
通过多变量矩阵偏导的定义来阐述，这里因为是对X的转置求偏导，所以定义里的偏导的每个分量都相应的做了转置，即是相当于对X求偏导时转置了。进而由矩阵偏导的定义得最终的结果a的转置。
借助矩阵迹
矩阵迹的性质
矩阵的迹即矩阵主对角线之和，而且它有如下的性质：
因为这里f(x)是个标量，其定义是
这与矩阵的迹
不谋而合。
矩阵偏导结论
结论，这里不难发现：
针对多变量的标量函数
则
这里A和x可以都是矩阵。
完整证明
所以上述的证明将借助矩阵迹的性质，完整的证明见下：
Step 1 定义
Step 2 带入f
Step 3 f是标量，直接转为矩阵迹
Step 4 由矩阵性质3(矩阵乘交换迹不变)
Step 5 由矩阵性质6(矩阵转置迹不变)
注: 这里应用到矩阵乘和转置的性质：
Step 6 由矩阵转置的性质，则有
Step 7 此时Step6的形式是否和一般式
神似？而
。
注：这里表达式整理成了标准形式（只不过这里的“x”是
）。
所以最终得到结果
