搭积木

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mb5ff98246f093d 2019-04-23 10:17:00

文章标签 蓝桥杯记忆化搜索动态规划 #include 数据 文章分类 后端开发

小明对搭积木非常感兴趣。他的积木都是同样大小的正立方体。
在搭积木时，小明选取 m 块积木作为地基，将他们在桌子上一字排开，中间不留空隙，并称其为第0层。
随后，小明可以在上面摆放第1层，第2层，……，最多摆放至第n层。摆放积木必须遵循三条规则：

规则1：每块积木必须紧挨着放置在某一块积木的正上方，与其下一层的积木对齐；
规则2：同一层中的积木必须连续摆放，中间不能留有空隙；
规则3：小明不喜欢的位置不能放置积木。

其中，小明不喜欢的位置都被标在了图纸上。图纸共有n行，从下至上的每一行分别对应积木的第1层至第n层。每一行都有m个字符，字符可能是‘.’或‘X’，其中‘X’表示这个位置是小明不喜欢的。
现在，小明想要知道，共有多少种放置积木的方案。他找到了参加蓝桥杯的你来帮他计算这个答案。
由于这个答案可能很大，你只需要回答这个答案对1000000007(十亿零七)取模后的结果。
注意：地基上什么都不放，也算作是方案之一种。

【输入格式】
输入数据的第一行有两个正整数n和m，表示图纸的大小。
随后n行，每行有m个字符，用来描述图纸。每个字符只可能是‘.’或‘X’。

【输出格式】
输出一个整数，表示答案对1000000007取模后的结果。

【样例输入1】
2 3
..X
.X.

【样例输出1】
4

【样例说明1】
成功的摆放有（其中O表示放置积木）：
(1)
..X
.X.
(2)
..X
OX.
(3)
O.X
OX.
(4)
..X
.XO

【样例输入2】
3 3
..X
.X.
...

【样例输出2】
16

【数据规模约定】
对于10%的数据，n=1，m<=30；
对于40%的数据，n<=10，m<=30；
对于100%的数据，n<=100，m<=100。

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 1000ms

记忆化搜索，动态规划思想，最初是横向看一行行的去算，复杂度很高，纵向去看会发现，其实就是一条一条的柱子拼在一起，按照题意，要求不能存在中间的柱子比两边低，也就是说要么高度是递增，要么是递减，要么从某个点向两侧递减，所以添加一个状态0表示减1表示增。

代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
#define mod 1000000007
using namespace std;
char mp[101];
int h[101];
int n,m;
int dp[2][101][101];
int dfs(int k,int he,int flag) {
    if(dp[flag][k][he]) return dp[flag][k][he];
    if(flag > 0) {
        for(int i = he;i <= h[k + 1];i ++) {
            dp[flag][k][he] = (dp[flag][k][he] + dfs(k + 1,i,flag)) % mod;
        }
        for(int i = 0;i <= min(he - 1,h[k + 1]);i ++) {
            dp[flag][k][he] = (dp[flag][k][he] + dfs(k + 1,i,0)) % mod;
        }
    }
    else {
        for(int i = 0;i <= min(he,h[k + 1]);i ++) {
            dp[flag][k][he] = (dp[flag][k][he] + dfs(k + 1,i,0)) % mod;
        }
    }
    return dp[flag][k][he];
}
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 0;i < n;i ++) {
        scanf("%s",mp);
        for(int j = 0;j < m;j ++) {
            if(mp[j] == 'X') h[j] = max(h[j],i + 1);
        }
    }
    for(int i = 0;i < m;i ++) {
        h[i] = n - h[i];
    }
    for(int i = 0;i <= h[m - 1];i ++) {
        dp[0][m - 1][i] = dp[1][m - 1][i] = 1;
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 0;i <= h[0];i ++) {
        ans = (ans + dfs(0,i,1)) % mod;
    }
    printf("%d",ans);
}

动态规划

代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
#define mod 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
char mp[101];
int h[101];
int n,m;
int dp[2][101][101];
inline int add(int a,int b) {
    if(b >= mod - a) return a - mod + b;
    return a + b;
}
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 0;i < n;i ++) {
        scanf("%s",mp);
        for(int j = 0;j < m;j ++) {
            if(mp[j] == 'X') h[j] = i + 1;
        }
    }
    for(int i = 0;i < m;i ++) {
        h[i] = n - h[i];
    }
    for(int i = 0;i <= h[0];i ++) {
        dp[1][0][i] = 1;
    }
    for(int i = 1;i < m;i ++) {
        for(int j = 0;j <= h[i];j ++) {
            int d = (h[i - 1] < j ? h[i - 1] : j);
            for(int k = 0;k <= d;k ++) {
                dp[1][i][j] = add(dp[1][i][j],dp[1][i - 1][k]);
            }
            for(int k = j + 1;k <= h[i - 1];k ++) {
                dp[0][i][j] = add(dp[0][i][j],dp[1][i - 1][k]);
                dp[0][i][j] = add(dp[0][i][j],dp[0][i - 1][k]);
            }
            if(j <= h[i - 1]) dp[0][i][j] = add(dp[0][i][j],dp[0][i - 1][j]);
        }
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 0;i <= h[m - 1];i ++) {
        ans = add(add(ans,dp[0][m - 1][i]),dp[1][m - 1][i]);
    }
    printf("%d",ans);
}