卡特兰数学习笔记

什么是卡特兰数

以下看似毫不相关的问题均属于 Catalan 数列：

• \(n\) 个节点能够构成 \(Cat_n\) 种不同的二叉树
• \(n\) 个左括号与 \(n\) 个右括号组成的合法序列有 \(Cat_n\) 种
• \(n\) 个元素按照大小进栈，合法的出栈序列有 \(Cat_n\) 种
• 通过诺干条互不相交的对角线，把凸多边形拆分成若干个三角形的方案数为 \(Cat_n\)
• 在平面直角坐标系上，每一步只能向上或向右行走一个单位长度，从 \((0,0)\) 走到 \(n,n\) 并且不接触直线 \(y=x\) 的路径数量为 \(2Cat_n\)

卡特兰序列的前几项为：

\(Cat_0\)	\(Cat_1\)	\(Cat_2\)	\(Cat_3\)	\(Cat_4\)	\(Cat_5\)	...
\(1\)	\(1\)	\(2\)	\(5\)	\(14\)	\(42\)	...

关于卡特兰数的常见公式：

\[\begin{aligned} \\ Cat_n &= \frac{\begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix}}{n+1} \ \ \ \ \ \ (n>2) \\ \\ Cat_n &= \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2n \\ n-1 \end{pmatrix} \\ \\ Cat_n &= \frac{Cat_{n-1}(4n-2)}{n+1} \\ \\ Cat_n &= \begin{cases}{\sum_{i=1}^{n}Cat_{i-1} \times Cat_{n-i} \ \ \ \ (n>2)} \\ {1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (n=0,1)}\end{cases} \\ \end{aligned} \]

一些例题

P1044 [NOIP2003 普及组] 栈

用卡特兰数公式求出 \(Cat_n\) 即可

#include <cstdio>
typedef long long ll;
using namespace std;

ll ans=1; // 答案较大,要开long long
int n;

signed main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i=2;i<=n;++i)
		ans=ans*((i<<2)-2)/(i+1); // 递推式
		// 由于我们只需要求 Cat[n]
		// Cat[i] 只和 Cat[i-1] 有关
		// 所以我们可以用滚动数组优化成一个变量
	printf("%lld",ans);
    return 0;
}

P1375 小猫

本题是求凸多边形三角划分，直接求 \(Cat_n\) ，用组合数求出即可

#include <cstdio>
typedef long long ll;
using namespace std;
const ll Mod=1e9+7;
const int N=3e5+7;

ll fac[N];

int n;

inline ll mi(ll mi_a,ll mi_b,ll mi_mod) {
	ll mi_ans=1;
	for(;mi_b;mi_a=mi_a*mi_a%mi_mod,mi_b>>=1)
		(mi_b&1)&&(mi_ans=mi_ans*mi_a%mi_mod);
	return mi_ans;
}

inline ll C(ll n,ll m,ll p) {
    return fac[n]*mi(fac[m],p-2,p)%p*mi(fac[n-m],p-2,p)%p; // 用费马小定理求逆元
}

signed main() {
	scanf("%d",&n);
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<N;++i)
		fac[i]=(fac[i-1]*i)%Mod; // 预处理, fac[i]=i!
	printf("%lld",((C(2*n,n,Mod)-C(2*n,n-1,Mod))%Mod+Mod)%Mod); // 直接套 Catalan 组合数公式
    return 0;
}

P2532 [AHOI2012]树屋阶梯

打表可以发现这题就是让我们求 \(Cat_n\)

但实际上，我们可以从DP 的角度考虑这道题。对于任意大小为 \(n\) 的阶梯，我们都可以现在左下角放一个大块，然后在上方构造一个大小为 \(i\) 的阶梯，右下方构造大小为 \(n-i-1\) 的阶梯，那么转移方程就是

\[f_i = \sum^{n-1}_{i=0}f_i \times f_{n-i-1} \]

容易看出这就是 Catalan 数

注意高精

还有一些有思维难度的例题，请读者们自己思考一下

P3978 [TJOI2015]概率论

P3200 [HNOI2009]有趣的数列