为什么可以这样拆点在 这道题 都已经证明过

代码：

  1 //题目上面说了“The only exception is that the first and the last city should be the same and this city is visited twice.”
  2 //我还以为是起点要使用两次，没想到题意就是全部点连接之后出入度都为1
  3 
  4 //题意：有n座城市，m条带权有向边。有人想要游历所有城市，于是制定了计划：游历的路径是一个或者多个环,且所有城市都必须仅存在于一个环中。问怎样设计路线使得总路程最短？
  5 //我们可以用最大权匹配去求：
  6 //1.对于每个点u，我们拆成u和u'。u代表着出点，在二分图的左侧；u'代表着入点，在二分图的右侧。
  7 //2.如果有一条有向边u-->v，那么在二分图中，我们加一条边u-->v'，并且权值取反。
  8 //
  9 //3.利用KM()算法，求出最大权匹配，再将结果取反，即为答案。
 10 // 举个三个点的例子
 11 // p->q`->q->r`->r->p`
 12 //
 13 //问：为何KM()算法求出来的就一定是一个或多个环呢？
 14 //1.可知，题目已经说明了必定有解。那么对应的二分图必定存在完全匹配，完全匹配也必定是最大匹配。
 15 //2.我们用KM()算法求出了最大权匹配。根据性质：最大权匹配必定为最大匹配。所以，如果最大匹配是完全匹配，那么最大权匹配也是完全匹配。
 16 //3.因为最大权匹配是完全匹配。所以所求出的解必定是一个或多个环。
 17 #include<stdio.h>
 18 #include<algorithm>
 19 #include<string.h>
 20 #include<iostream>
 21 #include<queue>
 22 #include<vector>
 23 using namespace std;
 24 const int maxn=510;
 25 const int INF=0x3f3f3f3f;
 26 int n,m;
 27 int g[maxn][maxn],link[maxn],matchx[maxn],matchy[maxn];
 28 int slack[maxn],visitx[maxn],visity[maxn];
 29 int dfs(int x)
 30 {
 31     visitx[x]=1;
 32     for(int i=1;i<=n;++i)
 33     {
 34         if(visity[i]) continue;
 35         int temp=matchx[x]+matchy[i]-g[x][i];
 36         if(temp==0)
 37         {
 38             visity[i]=1;
 39             if(link[i]==-1 || dfs(link[i]))
 40             {
 41                 link[i]=x;
 42                 return 1;
 43             }
 44         }
 45         else slack[i]=min(slack[i],temp);
 46     }
 47     return 0;
 48 }
 49 int km()
 50 {
 51     memset(link,-1,sizeof(link));
 52     memset(matchy,0,sizeof(matchy));
 53     for(int i=1;i<=n;++i)
 54     {
 55         matchx[i]=-INF;
 56         for(int j=1;j<=n;++j)
 57         {
 58             matchx[i]=max(matchx[i],g[i][j]);
 59         }
 60     }
 61     for(int x=1;x<=n;++x)
 62     {
 63         for(int i=1;i<=n;++i)
 64             slack[i]=INF;
 65         while(1)
 66         {
 67             memset(visitx,0,sizeof(visitx));
 68             memset(visity,0,sizeof(visity));
 69             if(dfs(x)) break;
 70             int d=INF;
 71             for(int i=1;i<=n;++i)
 72                 if(!visity[i])
 73                     d=min(d,slack[i]);
 74             for(int i=1;i<=n;++i)
 75             {
 76                 if(visitx[i])
 77                     matchx[i]-=d;
 78             }
 79             for(int i=1;i<=n;++i)
 80             {
 81                 if(visity[i]) matchy[i]+=d;
 82                 else slack[i]-=d;
 83             }
 84         }
 85     }
 86     int ans=0;
 87     for(int i=1;i<=n;++i)
 88     {
 89         if(link[i]!=-1)
 90             ans+=g[link[i]][i];
 91     }
 92     return ans;
 93 }
 94 int main()
 95 {
 96     int t;
 97     scanf("%d",&t);
 98     while(t--)
 99     {
100         scanf("%d%d",&n,&m);
101         memset(g,0,sizeof(g));
102         for(int i=1;i<=n;++i)
103         {
104             for(int j=1;j<=n;++j)
105             {
106                 g[i][j]=-INF;
107             }
108         }
109         while(m--)
110         {
111             int u,v,w;
112             scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
113             g[u][v]=max(-w,g[u][v]);
114         }
115         printf("%d\n",-km());
116     }
117     return 0;
118 }