图论学习笔记——SPFA判断负环

算法描述

有一个n个点、m条边的有向/无向有权图，判断该图中有没有负环。

注意：图并不一定所有点都是联通的。

负环的定义：图中形成了一个环，且环上面的边权之和为负数。

例题：AcWing 852. spfa判断负环

分析与解法

负环是在写最短路（尤其是 SPFA）的问题中需要考虑的问题，它会导致程序陷入死循环，程序里需要避免这个问题。

因为出现了负数，所以 Dijkstra 算法可以排除了，于是转向效率略低但可以处理负数的 SPFA。

在SPFA算法中，遇见了负环会导致最短路的值会不断减小。有一些点会不断更新入队，队列永远不为空，可以从这里找到突破口。

不难想到可以增加一个统计每个结点入队次数的数组，如果一个点入队超过了 \(n\) 次（也就是连正常情况下最多的入队次数都超过了），说明有一个点被重复使用，就判定有负环。

还有一种方法：统计某一个点到该点的最短路目前包含多少条边，每次满足三角行不等式时更新这个值。如果一条最短路上包含了超过 \(n - 1\) 条边，说明有一条边被重复使用，有负环。

但这两个思路都有一个缺陷：由于图并不保证两点之间一定能到达，如果从任意一点向任意一点的最短路中没有出现负环（就像以下这个情况），程序就会出错：

如图，如果求的是1到其他点的最短路，则不会出现负环，会报错。

解法1：

从每个点跑一次SPFA，这样肯定能找出负环。

一般复杂度 \(O(NM)\) ，最差复杂度 \(O(N^2M)\)，难以接受。

解法2：

可以再建立一个 \(0\) 号结点，我们称它为“虚拟源点”。

把它向所有节点连一条边权为 \(0\) 的边，然后从 \(0\) 号点向其他点跑最短路，在一开始就可以将所有点入队列，通过所有结点来更新，这样再用上面两种方式都可以判定出负环。

具体看下图这个例子：在上面的原图上加了一个 \(0\) 点，可以手模一下，就会发现可以判出负环了。

Code : AcWing 852

// by pjx Aug.
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <stack>
#define REP(i, x, y) for(register int i = x; i < y; i++)
#define rep(i, x, y) for(register int i = x; i <= y; i++)
#define PER(i, x, y) for(register int i = x; i > y; i--)
#define per(i, x, y) for(register int i = x; i >= y; i--)
#define lc (k << 1)
#define rc (k << 1 | 1)
using namespace std;
const int N = 1E4 + 5;
int n, m;
struct node{
    int v, w;
};
vector <node> g[N];
queue <int> que;
int cnt[N];
int b[N], dis[N];
int main()
{
    cin >> n >> m;
    rep(i, 1, n)
    {
        g[0].push_back({i, 0});//建立“虚拟源点”
        que.push(i);
        b[i] = 1;
    }
    rep(i, 1, m)
    {
        int x, y, z;
        cin >> x >> y >> z;
        g[x].push_back({y, z});
    }
    b[0] = 1;
    while(!que.empty())
    {
        int k = que.front();
        que.pop();
        b[k] = 0;
        for(int j = 0; j < g[k].size(); j++)
        {
            int v = g[k][j].v;
            int w = g[k][j].w;
            if(dis[k] + w < dis[v])
            {
                dis[v] = dis[k] + w;
                cnt[v] = cnt[k] + 1;//这里用的是第二种判负环的方式
                if(cnt[v] == n)//如果最短路走过的边数超过了n，则判定
                {
                    cout << "Yes";
                    return 0;
                }
                if(!b[v])
                {
                    b[v] = 1;
                    que.push(v);
                }
            }
        }
    }
    cout << "No";
	return 0;
}