[学习笔记] 二分图匹配（匈牙利算法）

概念

匹配：即一个边的集合，在这个边的集合中，任意两条边都没有公共顶点

最大就不用多说了吧（

算了还是简单说一下：一个点最多只能有与其有关系的一条边被选中，问最多能选择多少条边

匹配点，匹配边，非匹配点，非匹配边，这四个概念也很好理解吧（

交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路

增广路：一条回到非匹配点的交替路

感性理解一下就好了

匈牙利算法

基于深度优先搜索一遍一遍搜索增广路的存在性来增加匹配对数的

感性理解一下就好了

我们现在用找朋友的例子来模拟一下这个算法：

每个\(A\)集合要在\(B\)集合里找到自己的朋友，对于一个人\(a\)遍历每一个和他有关系的人\(b\)，如果没有人和\(b\)匹配

就直接让他们两个人匹配，反之，则让和\(b\)匹配的人去找其他人匹配（这样真的好吗

找到了就匹配，没找到就算了

如果已经和\(b\)匹配的人找到了其他可以匹配的人，那就算找到了一条增广路，所以也叫增广路算法

可以发现上面的概念真的什么用，感性理解就好了（

code

注意到每次回去找增广路时，可能会不断重复\(dfs(match[v],tag)\)这一句话

具体可以看下面这张图，\(1\)一开始匹配到了\(3\)，然后\(2\)想匹配\(3\)，但是发现\(1\)匹配了所以需要\(1\)重新去找

但是\(1\)会去找\(3\)，并触发\(dfs(match[v],tag)\)，但是我们发现\(match[v]==1\)啊！

 for(int i=1;i<=n;++i)
	if(dfs(i,i)) ++ans;

为了避免上述事情的发生，我们使用了\(vis\)数组，因为一个点你一次没找到增光路，你再怎么找，还是找不到

但是这样的话，就要在每次dfs前现清空数组，很浪费时间，于是我们使用了\(tag\)表示这次dfs是为谁去匹配的

bool dfs(int u,int tag){
    if(vis[u]==tag) return 0;
    vis[u]=tag;
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
	int v=ver[i];
	if(!match[v]||dfs(match[v],tag)){
	    match[v]=u;
	    return 1;
	}
    }
    return 0;
}

复杂度\(\mathcal O(n*e+m)\) 分别表示左边的点，边的数量，右边的点