VC++2012编程演练数据结构《31》狄杰斯特拉算法

狄杰斯特拉算法

Dijkstra(狄杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表的方式，这里均采用永久和临时标号的方式。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述

在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

狄杰斯特拉算法

狄杰斯特拉(Dijkstra)算法思想

按路径长度递增次序产生最短路径算法：

把V分成两组：

（1）S：已求出最短路径的顶点的集合

（2）V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合

将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中，

保证：（1）从源点V0到S中各顶点的最短路径长度都不大于

从V0到T中任何顶点的最短路径长度

（2）每个顶点对应一个距离值

S中顶点：从V0到此顶点的最短路径长度

T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间

顶点的最短路径长度

依据：可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径，或是从V0到Vk的

直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和

（反证法可证）

求最短路径步骤

算法步骤如下：

1. 初使时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值

若存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为<V0,Vi>弧上的权值

若不存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为∝

2. 从T中选取一个其距离值为最小的顶点W且不在S中，加入S

3. 对其余T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的

距离值缩短，则修改此距离值

重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即W=Vi为止

狄杰斯特拉算法的原理

首先，引进一个辅助向量D，它的每个分量D表示当前所找到的从始点v到每个终点vi的最短路径的长度。如D[3]=2表示从始点v到终点3的路径相对最小长度为2。这里强调相对就是说在算法过程中D的值是在不断逼近最终结果但在过程中不一定就等于最短路径长度。它的初始状态为：若从v到vi有弧，则D为弧上的权值；否则置D为∞。显然，长度为 D[j]=Min{D | vi∈V} 的路径就是从v出发的长度最短的一条最短路径。此路径为(v,vj)。 那么，下一条长度次短的最短路径是哪一条呢？假设该次短路径的终点是vk，则可想而知，这条路径或者是(v,vk)，或者是(v,vj,vk)。它的长度或者是从v到vk的弧上的权值，或者是D[j]和从vj到vk的弧上的权值之和。 一般情况下，假设S为已求得最短路径的终点的集合，则可证明：下一条最短路径（设其终点为X）或者是弧(v,x)，或者是中间只经过S中的顶点而最后到达顶点X的路径。因此，下一条长度次短的最短路径的长度必是D[j]=Min{D | vi∈V-S} 其中，D或者是弧(v,vi)上的权值，或者是D[k](vk∈S)和弧(vk,vi)上的权值之和。 狄杰斯特拉算法描述如下： 1）arcs表示弧上的权值。若不存在，则置arcs为∞（在本程序中为MAXCOST）。S为已找到从v出发的最短路径的终点的集合，初始状态为空集。那么，从v出发到图上其余各顶点vi可能达到的最短路径长度的初值为D=arcs[Locate Vex(G,v),i] vi∈V 2）选择vj，使得D[j]=Min{D | vi∈V-S} 3）修改从v出发到集合V-S上任一顶点vk可达的最短路径长度。

类声名如下

#if !defined(AFX_GRAPH_H__EDF8E290_EF85_4726_851D_F684E5602E43__INCLUDED_) #define AFX_GRAPH_H__EDF8E290_EF85_4726_851D_F684E5602E43__INCLUDED_  #if _MSC_VER > 1000 #pragma once #endif // _MSC_VER > 1000  //图的相关数据类型的定义graph.h //最多顶点数 const int MaxV=10; //最大权值 const int MaxValue=99; //定义邻接表中的边结点类型 struct edgenode {  int adjvex;   //邻接点域  int weight;   //权值域  edgenode* next;//指向下一个边结点的链域 }; //定义邻接表类型 typedef edgenode** adjlist; //邻接矩阵类定义 class AdjMatrix {private: char g[MaxV];//顶点信息数组 int size;//当前顶点数 int GA[MaxV][MaxV];//定义邻接矩阵GA int numE;//当前边数 public:  //构造函数,初始化图的邻接矩阵  AdjMatrix(int n,int k2);  //判断图空否  bool GraphEmpty() {return size==0;}  //取当前顶点数  int NumV() {return size;}  //取当前边数  int NumEdges() {return numE;}  //取顶点i的值  char GetValue(const int i);  //取弧<v1,v2>的权  int GetWeight(const int v1,const int v2);  //在位置pos处插入顶点V  void InsertV(const char &V,int pos);  //插入弧<v1,v2>,权为weight  void InsertEdge(const int v1,const int v2,int weight);  //删除顶点i与顶点i相关的所有边  char DeleteVE(const int i);  //删除弧<v1,v2>  void DeleteEdge(const int v1,const int v2);  //建立图的邻接矩阵  void CreateMatrix(int n, int k1,int k2);  //k1为0则无向否则为有向,k2为0则无权否则为有权  //从初始点vi出发深度优先搜索由邻接矩阵表示的图  void dfsMatrix(bool*& visited,int i,int n,int k2);  //从初始点vi出发广度优先搜索由邻接矩阵表示的图  void bfsMatrix(bool*& visited,int i,int n,int k2);  //由图的邻接矩阵得到图的邻接表  void graphChange(adjlist &GL,int n,int k2);  //检查输入的边序号是否越界,若越界则重输  void Check(int n,int& i,int& j);  //由图的邻接矩阵建立图  void Creatgraph(int n,int k2);  //对非连通图进行深度优先搜索  void dfsMatrix(int n,int k2);  //对非连通图进行广度优先搜索  void bfsMatrix(int n,int k2); };  #endif // !defined(AFX_GRAPH_H__EDF8E290_EF85_4726_851D_F684E5602E43__INCLUDED_)

类实现如下

#include "stdafx.h" #include "graph.h"  //图的相关运算的实现graph.cpp #include"graph.h" //构造函数,初始化图的邻接矩阵 AdjMatrix::AdjMatrix(int n,int k2) {int i,j;  if(k2==0){//初始化无(有)向无权图   for(i=0;i<n;i++)    for(j=0;j<n;j++)     GA[i][j]=0;}  else {//初始化无(有)向有权图   for(i=0;i<n;i++)    for(j=0;j<n;j++)     if(i==j) GA[i][j]=0;     else GA[i][j]=MaxValue;}  size=numE=0; } //建立图的邻接矩阵 void AdjMatrix::CreateMatrix(int n,int k1,int k2) //k1为0则无向否则为有向,k2为0则无权否则为有权 {int i,j,k,e,w;  cout<<"输入图的总边数:";    cin>>e;  if(k1==0 && k2==0) { //建立无向无权图   cout<<"输入"<<e<<"条无向无权边的起点和终点序号!"<<endl;   for(k=1; k<=e; k++) {    cin>>i>>j;    Check(n,i,j);    GA[i][j]=GA[j][i]=1;}   }  else if(k1==0 && k2!=0) { //建立无向有权图    cout<<"输入"<<e<<"条无向带权边的起点和终点序号及权值!"<<endl;    for(k=1; k<=e; k++) {     cin>>i>>j>>w;     Check(n,i,j);     GA[i][j]=GA[j][i]=w;}   }   else if(k1!=0 && k2==0) { //建立有向无权图     cout<<"输入"<<e<<"条有向无权边的起点和终点序号!"<<endl;     for(k=1; k<=e; k++) {      cin>>i>>j;      Check(n,i,j);      GA[i][j]=1;}   }   else if(k1!=0 && k2!=0) { //建立有向有权图     cout<<"输入"<<e<<"条有向有权边的起点和终点序号及权值!"<<endl;     for(k=1; k<=e; k++) {      cin>>i>>j>>w;      Check(n,i,j);      GA[i][j]=w;}}   numE=e;      cout<<"创建后的邻接矩阵:\n";      for(i=0;i<n;i++)   {for(j=0;j<n;j++)     cout<<setw(4)<<GA[i][j];    cout<<endl;} } //从初始点vi出发深度优先搜索由邻接矩阵表示的图 void AdjMatrix::dfsMatrix(bool*& visited,int i,int n,int k2) {cout<<g[i]<<':'<<i<<"  ";  visited[i]=true;        //标记vi已被访问过  for(int j=0; j<n; j++)  //依次搜索vi的每个邻接点   if(k2==0)    {if(i!=j&&GA[i][j]!=0&&!visited[j])      dfsMatrix(visited,j,n,k2);}   else    if(i!=j&&GA[i][j]!=MaxValue&&!visited[j])      dfsMatrix(visited,j,n,k2); } //从初始点vi出发广度优先搜索由邻接矩阵表示的图 void AdjMatrix::bfsMatrix(bool*& visited,int i,int n,int k2) {const int MaxLength=30;  //定义一个队列q,其元素类型应为整型  int q[MaxLength]={0};  //定义队首和队尾指针  int front=0,rear=0;  //访问初始点vi  cout<<g[i]<<':'<<i<<"  ";  //标记初始点vi已访问过  visited[i]=true;   //将已访问过的初始点序号i入队  q[++rear]=i;   //当队列非空时进行循环处理  while(front!=rear) {   //删除队首元素,第一次执行时k的值为i   front=(front+1)%MaxLength;   int k=q[front];   //依次搜索vk的每一个可能的邻接点   for(int j=0;j<n;j++)    if(k2==0)     {if(k!=j&&GA[k][j]!=0&&!visited[j])      {//访问一个未被访问过的邻接点vj       cout<<g[j]<<':'<<j<<"  ";       visited[j]=true;     //标记vj已访问过       rear=(rear+1)%MaxLength;//顶点序号j入队       q[rear]=j;      }     }    else     if(k!=j&&GA[k][j]!=MaxValue&&!visited[j])      {//访问一个未被访问过的邻接点vj       cout<<g[j]<<':'<<j<<"  ";       visited[j]=true;   //标记vj已访问过       rear=(rear+1)%MaxLength;//顶点序号j入队       q[rear]=j;      } }} //检查输入的边序号是否越界,若越界则重输 void AdjMatrix::Check(int n,int& i,int& j) {while(1) {   if(i<0||i>=n||j<0||j>=n)     cout<<"输入有误,请重输!";   else return;   cin>>i>>j;  } } //由图的邻接矩阵得到图的邻接表 void AdjMatrix::graphChange(adjlist &GL,int n,int k2) {int i,j;  if(k2==0)  {for(i=0;i<n;i++){   for(j=0;j<n;j++)     if(GA[i][j]!=0) {      edgenode* p=new edgenode;      p->adjvex=j;      p->next=GL[i];GL[i]=p;      cout<<'('<<i<<','<<p->adjvex<<") ";}   cout<<endl;}}  else {   for(i=0;i<n;i++){    for(j=0;j<n;j++)     if(GA[i][j]!=0 && GA[i][j]!=MaxValue) {      edgenode* p=new edgenode;      p->adjvex=j;p->weight=GA[i][j];      p->next=GL[i];GL[i]=p;      cout<<'('<<i<<','<<p->adjvex<<','<<p->weight<<") ";}    cout<<endl;} }} //由图的邻接矩阵建立图 void AdjMatrix::Creatgraph(int n,int k2) {int i,j,k,m=0;  if(k2==0)  {for(i=0;i<n;i++){    k=i;   for(j=0;j<n;j++)     if(GA[i][j]!=0)      if(k==i&&m<n)       {g[m]='A'+m;size++;        cout<<g[m]<<'('<<i<<','<<j<<") ";        m++;       }   }   cout<<endl;}  else {   for(i=0;i<n;i++){    k=i;    for(j=0;j<n;j++)     if(GA[i][j]!=0 && GA[i][j]!=MaxValue)      if(k==i&&m<n)       {g[m]='A'+m;size++;        cout<<g[m]<<'('<<i<<','<<j<<','<<GA[i][j]<<") ";        m++;       }   }  cout<<endl;}  g[n]='\0'; } //取顶点i的值 char AdjMatrix::GetValue(const int i) {if(i<0||i>size)   {cerr<<"参数i越界!\n";exit(1);}  return g[i]; } //取弧<v1,v2>的权 int AdjMatrix::GetWeight(const int v1,const int v2) {if(v1<0||v1>size||v2<0||v2>size)   {cerr<<"参数v1或v2越界!\n";exit(1);}  return GA[v1][v2];  } //在位置pos处插入顶点V void AdjMatrix::InsertV(const char &V,int pos) {int i;  if(size==MaxV)   {cerr<<"表已满,无法插入!\n";exit(1);}  if(pos<0||pos>size)   {cerr<<"参数pos越界!\n";exit(1);}  for(i=size;i>pos;i--) g[i]=g[i-1];  g[pos]=V;  size++;  } //插入弧<v1,v2>,权为weight void AdjMatrix::InsertEdge(const int v1,const int v2,int weight) {if(v1<0||v1>size||v2<0||v2>size)   {cerr<<"参数v1或v2越界!\n";exit(1);}  GA[v1][v2]=weight;  numE++;  } //删除顶点v与顶点v相关的所有边 char AdjMatrix::DeleteVE(const int v) {for(int i=0;i<size;i++)   for(int j=0;j<size;j++)    if((i==v||j==v)&&GA[i][j]>0&&GA[i][j]<MaxValue)     {GA[i][j]=MaxValue;      numE--;}  if(size==0)   {cerr<<"表已空,无元素可删!\n";exit(1);}  if(v<0||v>size-1)   {cerr<<"参数v越界!\n";exit(1);}  char temp=g[v];  for(int i=v;i<size-1;i++) g[i]=g[i+1];  size--;  g[size]='\0';  return temp; } //删除弧<v1,v2> void AdjMatrix::DeleteEdge(const int v1,const int v2) {if(v1<0||v1>size||v2<0||v2>size||v1==v2)   {cerr<<"参数v1或v2出错!\n";exit(1);}  GA[v1][v2]=MaxValue;  numE--; } //对非连通图进行深度优先搜索 void AdjMatrix::dfsMatrix(int n,int k2) {bool *vis=new bool[NumV()];  for(int i=0;i<NumV();i++) vis[i]=false;  for(int i=0;i<NumV();i++)   if(!vis[i]) dfsMatrix(vis,i,n,k2);  delete []vis; } //对非连通图进行广度优先搜索 void AdjMatrix::bfsMatrix(int n,int k2) {bool *vis=new bool[NumV()];  for(int i=0;i<NumV();i++) vis[i]=false;  for(int i=0;i<NumV();i++)   if(!vis[i]) bfsMatrix(vis,i,n,k2);  delete []vis; }

代码调用如下

#include "stdafx.h"   #include "graph.h" //网G从下标v0到其他顶点的最短距离dist和最短路径下标path void PShortPath(AdjMatrix &G,int v0,int dist[],int path[]) {int n=G.NumV(); int *s=new int[n]; int mindis,i,j,u; for(i=0;i<n;i++) {dist[i]=G.GetWeight(v0,i); s[i]=0; if(i!=v0&&dist[i]<MaxValue) path[i]=v0; else path[i]=-1; } s[v0]=1;//标记顶点v0已从集合T加入到集合S中 //在当前还未找到最短路径的顶点集中选取具有最短距离的顶点u for(i=1;i<n;i++) {mindis=MaxValue; for(j=0;j<n;j++) if(s[j]==0&&dist[j]<mindis) {u=j; mindis=dist[j]; } //当已不再存在路径时算法结束;此语句对非连通图是必需的 if(mindis==MaxValue) return; s[u]=1;//标记顶点u已从集合T加入到集合S中 //修改从v0到其他顶点的最短距离和最短路径 for(j=0;j<n;j++) if(s[j]==0&&G.GetWeight(u,j)<MaxValue&&    dist[u]+G.GetWeight(u,j)<dist[j]) {//顶点v0经顶点u到其他顶点的最短距离和最短路径     dist[j]=dist[u]+G.GetWeight(u,j);     path[j]=u; } } } //算法测试 void main() {cout<<"运行结果:\n"; int n=6,k1=1,k2=1; AdjMatrix g(n,k2); g.CreateMatrix(n,k1,k2); cout<<"\n输出邻接矩阵相应图的每个顶点:\n"; g.Creatgraph(n,k2); int m=g.NumV(); int *dist=new int[m]; int *path=new int[m]; int v0=0; PShortPath(g,v0,dist,path); cout<<"从顶点"<<g.GetValue(v0) <<"到其他各顶点的最短距离为:\n"; for(int i=0;i<m;i++) cout<<"到顶点"<<g.GetValue(i) <<"的最短距离为:"<<dist[i]<<endl; cout<<"从顶点"<<g.GetValue(v0) <<"到其他各顶点的最短路径的前一顶点为:\n"; for(int i=0;i<m;i++) if(path[i]!=-1) cout<<"到顶点"<<g.GetValue(i)<<"的前一顶点为:" <<g.GetValue(path[i])<<endl; cin.get();cin.get();

}

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