洛谷 P1082 同余方程

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JDOJ 1782: [NOIP2012]同余方程 D2 T1

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Description

求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。

Input

输入只有一行，包含两个正整数 a, b，用一个空格隔开。

Output

输出只有一行，包含一个正整数x0，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

Sample Input

3 10

Sample Output

7

HINT

对于40%的数据，2 <= b <= 1,000；

对于60%的数据，2 <= b <= 50,000,000；

对于100%的数据，2 <= a, b <= 2,000,000,000。

Source

NOIP2012提高组

题解：

由同余的概念，这道题至少40pts：

#include<cstdio>
using namespace std;
int a,b;
int main()
{
    scanf("%d%d",&a,&b);
    for(int i=1;i<=100000000;i++)
        if((a*i)%b==1)
        {
            printf("%d",i);
            return 0;
        }
    return 0;
}

稍微往深想一下，发现如果\(ax\equiv 1(mod\,\,\,b)\)，那么\(ax\)肯定是\(b\)的倍数加一，那么有了下面的代码，数据比较水能骗70分：

#include<cstdio>
#define int long long
using namespace std;
int a,b;
signed main()
{
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    int i=1;
    while((b*i+1)%a)
        i++;
    printf("%lld",(b*i+1)/a);
    return 0;
}

但是实际上这是一道扩展GCD的裸题。满分做法需要使用扩展GCD：

如果有对扩展GCD不熟悉的小伙伴请移步本蒟蒻的博客：

浅谈扩展GCD

代码：

#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
ll a,b,x,y,k;
void exgcd(ll a,ll b)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b);
    k=x;
    x=y;
    y=k-a/b*y;
    return;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    exgcd(a,b);
    printf("%lld",(x+b)%b);
    return 0;
}