单源最短路——SPFA算法（Bellman-Ford算法队列优化）

spfa的算法思想（动态逼近法）：

     设立一个先进先出的队列q用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。

      松弛操作的原理是著名的定理：“三角形两边之和大于第三边”，在信息学中我们叫它三角不等式。所谓对结点i,j进行松弛，就是判定是否dis[j]>dis[i]+w[i,j]，如果该式成立则将dis[j]减小到dis[i]+w[i,j]，否则不动。

     下面举一个实例来说明SFFA算法是怎样进行的：

 

 

 

和广搜bfs的区别：

    SPFA 在形式上和广度(宽度)优先搜索非常类似，不同的是bfs中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进(重新入队)，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。

 

算法描述：

 

1 void  spfa(s);  //求单源点s到其它各顶点的最短距离
 2 for i=1 to n do
 3 {
 4     dis[i]=∞;    //初始化每点到s的距离，不在队列
 5         vis[i]=false;
 6     }
 7 dis[s]=0;  //将dis[源点]设为0
 8 vis[s]=true; //源点s入队列
 9 head=0;
10 tail=1;
11 q[tail]=s; //源点s入队, 头尾指针赋初值
12 while head<tail do
13 {
14     head+1;  //队首出队
15     v=q[head];  //队首结点v
16         vis[v]=false;  //释放对v的标记，可以重新入队
17         for 每条边(v,i)  //对于与队首v相连的每一条边
18             if (dis[i]>dis[v]+a[v][i])  //如果不满足三角形性质
19                 dis[i] = dis[v] + a[v][i]   //松弛dis[i]
20                          if (vis[i]=false)
21                 {
22                     tail+1;    //不在队列，则加入队列
23                     q[tail]=i;
24                     vis[i]=true;
25                 }
26     }

 

代码实现：

1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<iostream>
 4 #include<queue>
 5 #include<vector>
 6 #define inf 0x3f3f3f3f
 7 using namespace std;
 8 int n,m;
 9 struct node
10 {
11     int to;
12     int power;
13 } t;
14 vector<node>g[110];
15 int vis[110];
16 int dis[110];///记录各个点到起点的距离
17 void SPFA(int s)
18 {
19     queue<int>q;///建立队列
20     int point,i,j;
21     q.push(s);
22     vis[s]=1;///加入队列并标记
23     while(!q.empty())///在队列不为空的情况下
24     {
25 
26         point=q.front();
27         q.pop();
28         vis[point]=0;///弹出队列取消标记
29         for(i=0; i<g[point].size(); i++)
30         {
31             if(dis[g[point][i].to]>g[point][i].power+dis[point])
32             {
33                 dis[g[point][i].to]=g[point][i].power+dis[point];///松弛操作，更新路径
34                 if(!vis[g[point][i].to])///若该店不在队列中
35                 {
36                     q.push(g[point][i].to);
37                     vis[g[point][i].to]=1;///将该点压人队列并标记
38                 }
39             }
40         }
41     }
42 }
43 int main()
44 {
45     int i,j,a,b,c;
46     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
47     {
48         if(n==0||m==0)
49         {
50             break;
51         }
52         memset(vis,0,sizeof(vis));
53         memset(dis,inf,sizeof(dis));
54         for(i=0; i<105; i++)
55         {
56             g[i].clear();///清空队列
57         }
58         for(i=0; i<m; i++)
59         {
60             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
61             t.to=a;
62             t.power=c;
63             g[b].push_back(t);
64             t.to=b;
65             t.power=c;
66             g[a].push_back(t);///双向
67         }
68         dis[1]=0;
69         SPFA(1);///起点为1
70         printf("%d\n",dis[n]);
71     }
72     return 0;
73 }

 

作者：王陸