核电站问题
一个核电站有n个放核物质的坑，坑排列在一条直线上。如果连续m个坑中放入核物质，则会发生爆炸。于是，在某些坑中可能不放核物质。
任务：
对于给定的n和m，求不发生爆炸的放置核物质的方案总数。
输入：
输入文件只一行，两个正整数n，m( 2<=N<50，2≤M≤5)
输出：
输出文件只有一个正整数s，表示方案总数。
样例输入：
4 3
样例输出：
13
这题我们可以用动态规划来写。写动态规划，最为核心的步骤就是找方程。我们取dp[i]表示到i这个位置一共有多少种方法。那么，由于如果连续m个坑中都放入核物质，则必会引起爆炸，所以，我们需要讨论i这个数与m的大小。
我们需要先明确一点，那就是i这个位置有两种情况，那就是放入核物质和不放入核物质。
首先：当i小于m的时候，不管我前面怎么放，都不可能连续放m个。因为当前位置小于m啊，说明我就算连续放入核物质，目前为止也没有放m个。那就肯定不会爆炸。所以这个时候，我们的动态规划方程就是dp[i] = 2 * dp[i - 1].什么意思呢，就是说，i前面的i-1位置一共有dp[i - 1]种方法，而i这个位置共有2种放法（即放或不放），所以，到i位置为止，一共有2 * dp[i - 1]种放法。
其次：当i等于m的时候，诶，那这个时候就要小心了，为啥呢？因为此时若i位置放入核物质，是会爆炸的！因为算上i位置，正好是m个。当时我们计算的时候，首先仍然按当前的i位置有两种放法计算，即dp[i] = 2 * dp[i - 1],但是这显然还是不够的，原因前面已经说了，如果此时（i位置）继续放，就到m了，就会爆炸了，所以，我需要在所有这些可能的情况中，减去当前位置放核物质的这种情况。又因为此时算上i物质正好是m，所以我只需要减去每个位置都放这一种情况就好了，因为只有这一种放法会导致爆炸。于是动态规划方程就是dp[i] = 2 * dp[i - 1] - 1.
最后：当i大于m时，这是最复杂的情况。先附上老师上课画的图：
是不是觉得很难懂？没事，我们慢慢分析，其实很简单。今天先睡觉了，明天继续说。
我们简单分析下i这个位置。前面的2*f(i-1)其实很好理解，就是f(i)这个位置的总放法数，不过既包括了不爆炸的，也包括了会爆炸的。所以这个时候，我们就需要把所有会爆炸的方法减去。我们考察i这个位置前面的一系列位置。从i-1开始，一直到i-m+1这个位置结束，一共有m-1个坑（1到3有3个数，而不是3-1=2个数）放入了核物质。这个时候，如果在i位置放入核物质，则肯定会爆炸。因此，i-m这个位置，一定不能放入核物质！否则在你决定是否在i位置上放核物质之前就已经爆炸了。所以，从i-1这个位置开始，一直到i-m这个位置结束，这一系列的位置上，放不放入核物质都是已经确定了的，所以这里只算一种情况。再来看i-m-1这个位置，那么这个位置放不放就不确定了，因此有f(i-m-1)种放法。这么多种放法，只要乘上前面这一种放法（从i-m到i-1的这一种放法），就是f(i-m-1)，所以，此时的f(i)就等于黑板上写的那个式子了。因此，我们得出动态规划方程为：dp[i] = 2 * dp[i - 1] - dp[i - m - 1]
代码：好啦，全部讲完了，现在我们来看看代码吧：
1 #include <iostream>
2 #include <algorithm>
3 #define N 100
4 long long dp[N];
5 using namespace std;
6 int main()
7 {
8 int n, m;
9 cin >> n >> m;
10 //初始条件
11 dp[0] = 1;
12 for (int i = 1; i <= n; ++i) {
13 if (i < m) {
14 //i这个位置上共有两种情况：放或不放
15 //前面有dp[i - 1]种情况，因此一共有2*dp[i - 1]这么多种情况
16 //这是n小于m的情况，即不管怎么放，总不会爆炸
17 dp[i] = 2 * dp[i - 1];
18 }
19 //这种情况对应的是n正好等于m,这个时候我就需要在原来的基础上减去每个坑都放的这一种情况
20 else if (i == m) {
21 dp[i] = 2 * dp[i - 1] - 1;
22 }
23 //现在是i>m的情况，那么这种情况下，我就需要考虑减去前面所有会炸的情况了
24 else {
25 dp[i] = 2 * dp[i - 1] - dp[i - m - 1];
26 }
27 }
28 cout << dp[n];
29 return 0;
30 }
运行效果：
Perfect!
