51Nod1634 刚体图 动态规划 容斥原理 排列组合

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基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 640 ​​难度：8级算法题​​

计算机科学中，图可以看做是点集和边集所组成的二元组。

通过给每个点设置一个平面坐标，图可以镶嵌在欧几里得平面中。

 

 

一个图被认为是刚体，如果该图无法只改变其中一部分的形状，而使得余下的部分的形状保持不变。

例如上图中的 (a) (b) (c) 都是刚体。

 

为了简化问题，我们现在只考虑  n × m 的格点图。

上图不是刚体，但是可以通过在对角线加入支撑的方式使得其变为刚体。

我们的问题是，对于 m × n 的个点图，有多少种添加支撑的方案可以使其变为刚体？

注意本题在每个小矩形中，我们至多只允许添加一个方向的对角线。

例如，对于 2 × 3 的格点图，一共有 448 种方案。

题解

　　考虑到加一条斜着的边的作用是让一个格子的行和列垂直。

　　我们需要让所有的行和列都互相垂直。于是，只要我们建一个二分图，行和列分居两侧，问题就被转化成了统计连通的二分图个数，其中，一条边有两种连接的方式。

　　令 $dp_{i,j}$ 表示左边有 $i$ 个，右边有 $j$ 个节点 的连通二分图个数，于是我们需要补集转化一下，得到：

$$dp_{n,m}=3^{nm}-\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=0}^{m}[i\neq n\ {\rm OR}\ j\neq m] \binom{n-1}{i-1}\binom{m}{j}\cdot 3^{(n-i)(m-j)}dp_{i,j}$$

　　这里略微的解释一下意义。我们枚举第一个节点所在的连通块的左右部分点的个数，然后剩余的边可以随意连，所以有一个 $3^{(n-i)(m-j)}$ 。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=15,mod=1e9+7;
int C[N][N],Pow3[N*N],dp[N][N];
int main(){
  for (int i=0;i<N;i++)
    C[i][0]=C[i][i]=1;
  for (int i=1;i<N;i++)
    for (int j=1;j<i;j++)
      C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
  Pow3[0]=1;
  for (int i=1;i<N*N;i++)
    Pow3[i]=3LL*Pow3[i-1]%mod;
  memset(dp,0,sizeof dp);
  dp[0][1]=dp[1][0]=1;
  for (int n=1;n<N;n++)
    for (int m=1;m<N;m++){
      dp[n][m]=Pow3[n*m];
      for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=0;j<=m;j++)
          if (i!=n||j!=m)
            dp[n][m]=(-1LL*C[n-1][i-1]*C[m][j]%mod
                *Pow3[(n-i)*(m-j)]%mod*dp[i][j]%mod
                  +dp[n][m])%mod;
      dp[n][m]=(dp[n][m]+mod)%mod;
    }
  int n,m;
  while (~scanf("%d%d",&n,&m))
    printf("%d\n",dp[n][m]);
  return 0;
}