上研究生的时候接触的第一个Loss function就是least square。最近又研究了一下，做个总结吧。
定义看wiki就够了。公式如下
E(w)=12∑n=1N{y−xWT}2E(w)=12∑n=1N{y−xWT}2
其中yy代表类标列向量，xx代表特征行向量，WW代表回归或者分类参数矩阵。通过令欧式距离最小化优化得到最优的WW。
我遇到的第一个问题是，这个公式是怎么得到的，motivation是什么。我个人倾向于最大似然这个角度来解释。具体如下：
假设回归或分类模型公式如下：
y=WTx+ϵy=WTx+ϵ
ϵ∼N(0,σ2)ϵ∼N(0,σ2)代表加性高斯噪声，所以y∼N(WTx,σ2)y∼N(WTx,σ2)。这时通过独立观测xx得到一系列的观测值X=(x1,y1)….,(xN,yN)X=(x1,y1)….,(xN,yN)，则可写出对应的似然函数
p(y∣X,w,σ)=ΠNn=1N(WTx,σ2)p(y∣X,w,σ)=Πn=1NN(WTx,σ2)
两边同取自然对数，则
ln(p(y∣X,w,σ))=∑i=1Nln(N(WTx,σ2))ln(p(y∣X,w,σ))=∑i=1Nln(N(WTx,σ2))
而N(WTx,σ2)=12πσ2√exp(−(y−WTx2)2σ2)N(WTx,σ2)=12πσ2exp(−(y−WTx)22σ2)
故
ln(p(y∣X,w,σ))=−12σ2∑n=1N{yn−WTxn}2−12ln(2πσ2)ln(p(y∣X,w,σ))=−12σ2∑n=1N{yn−WTxn}2−12ln(2πσ2)
最大似然函数，求解W,
W∗=argminW−12σ2∑n=1N{yn−WTxn}2−12ln(2πσ2)W∗=argminW−12σ2∑n=1N{yn−WTxn}2−12ln(2πσ2)
上式中第二项与WW无关，可以省略，故
W∗=argminW−12σ2∑n=1N{yn−WTxn}2W∗=argminW−12σ2∑n=1N{yn−WTxn}2
把上式中的σ2σ2取掉，就是我们熟悉的最小二乘法啦。
求解时，对对数似然函数求偏导（注意矩阵求导的规则）
∇ln(p(y∣X,w,σ))=−∑Nn=1{yn−WTxn}xTn∇ln(p(y∣X,w,σ))=−∑n=1N{yn−WTxn}xnT 令上式为0，则有
∑n=1NynxTn=WT∑n=1NxnxTn∑n=1NynxnT=WT∑n=1NxnxnT
两边同取矩阵的逆，则有： ∑Nn=1xnyTn=∑Nn=1xnxTnW∑n=1NxnynT=∑n=1NxnxnTW
如果用YY表示类标矩阵，XX表示特征矩阵，则有 XYT=XXTWXYT=XXTW W=(XXT)−1XYTW=(XXT)−1XYT
上面的公式称为normal equation。可以求得WW的封闭解，但是只要做过实验的都知道，如果XX的维数稍微一大，求逆的过程非常非常非常慢，且要消耗非常非常多的资源。所以WW一般用梯度下降法求解。
最大似然法在一定程度上证明了最小二乘法的合理性，但是事实上在历史上最小二乘的出现早于前者，所以可以从其它的角度思考一下最小二乘的合理性。
