hdu-6749 Mosquito （二分，最大流，优化建图）

2020 年百度之星·程序设计大赛 - 初赛一0 Mosquito

Problem Description

房间是个 n∗m 的网格，一共有 k 个窗户，都在上下左右四条边上。在第 0 时刻，每个窗户对应的格子上都会出现若干只蚊子。

蚊子每个时刻可以往上下左右移动一格或者呆在原地不动。

假设这些蚊子都足够聪明，请问最少花费多少时刻，使得所有格子上都有至少一只蚊子？

蚊子在第 0 时刻不能动。

思路：

当\(\sum_{i=1}^k z_i < n*m\)答案为-1，其他均有答案。

设花费\(t_0\)时刻可以满足条件，那么\(t_0+1\)一定也满足，则具有单调性，所以答案的时间\(\mathit t\) 可以二分求出。

问题转化为检验型问题，即给定一个时间\(\mathit t\)，问能否满足所有格子都有蚊子。

该问题可以通过建流量网络求最大流来解决。

建图方法：

设源点为\(\mathit S\)，汇点\(\mathit T\)。

1、源点\(\mathit S\)对每一个窗户\(W_i\)，建立流量为\(z_i\)的有向边。

2、每一个窗口\(W_i\)对距离其位置曼哈顿距离小于\(\mathit t\) 的格点建立流量为\(\text 1\)的有向边。

3、每一个格点对汇点\(\mathit T\)建立流量为\(\text 1\)的边。

令\(Flow\)为从源点到汇点的最大流，那么如果\(n*m\le Flow\)则满足条件。

我们知道这样建立的网络流的节点个数是\(n*m+k+2\)，用任何高效的最大流算法都是无法在时限内求出的。

那么我们来思考如何优化建图，

我们仔细思考（画图更容易理解），这\(n*m\)个格点，有很多节点的入边，出边，以及它们的流量都是完全相等的。

我们知道，在流量网络中，把这种非汇源点且入边和出边完全相等的节点们（假设\(num\)个）浓缩成一个节点，节点的每一个边的流量值扩大\(num\)倍，对源点到汇点的最大流是没有影响的。

那么我们的网络中，每一个格子节点的出边都是一样的，那么的区别只在于入边，

但\(k\leq 6\)，我们可以用二进制状态压缩代表一个节点的入边有哪些窗户，然后状态相等的节点就可以缩成一个节点。

细节见代码：

code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <bits/stdc++.h>
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define sz(a) int(a.size())
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)
#define repd(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<long long ,long long>
#define gbtb ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define MS0(X) memset((X), 0, sizeof((X)))
#define MSC0(X) memset((X), '\0', sizeof((X)))
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define eps 1e-6
#define chu(x)  if(DEBUG_Switch) cout<<"["<<#x<<" "<<(x)<<"]"<<endl
#define du3(a,b,c) scanf("%d %d %d",&(a),&(b),&(c))
#define du2(a,b) scanf("%d %d",&(a),&(b))
#define du1(a) scanf("%d",&(a));
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}
ll lcm(ll a, ll b) {return a / gcd(a, b) * b;}
ll powmod(ll a, ll b, ll MOD) { if (a == 0ll) {return 0ll;} a %= MOD; ll ans = 1; while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a % MOD;} a = a * a % MOD; b >>= 1;} return ans;}
ll poww(ll a, ll b) { if (a == 0ll) {return 0ll;} ll ans = 1; while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a ;} a = a * a ; b >>= 1;} return ans;}
void Pv(const vector<int> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%d", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("\n");}}}
void Pvl(const vector<ll> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%lld", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("\n");}}}
inline long long readll() {long long tmp = 0, fh = 1; char c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') fh = -1; c = getchar();} while (c >= '0' && c <= '9') tmp = tmp * 10 + c - 48, c = getchar(); return tmp * fh;}
inline int readint() {int tmp = 0, fh = 1; char c = getchar(); while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') fh = -1; c = getchar();} while (c >= '0' && c <= '9') tmp = tmp * 10 + c - 48, c = getchar(); return tmp * fh;}
void pvarr_int(int *arr, int n, int strat = 1) {if (strat == 0) {n--;} repd(i, strat, n) {printf("%d%c", arr[i], i == n ? '\n' : ' ');}}
void pvarr_LL(ll *arr, int n, int strat = 1) {if (strat == 0) {n--;} repd(i, strat, n) {printf("%lld%c", arr[i], i == n ? '\n' : ' ');}}
const int maxn = 1010;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
/*** TEMPLATE CODE * * STARTS HERE ***/
#define DEBUG_Switch 0
#define N 100
#define INF 1e13
struct Edge
{
int from, to;
ll  cap, flow; // cap 并不减少，只是flow在增，有残余就是cap>flow
};
int si = 0;
struct ISAP
{
int n, m, s, t;
vector<Edge>edges;
vector<int>G[N];
bool vis[N];
int d[N], cur[N];
int p[N], num[N]; //比Dinic算法多了这两个数组，p数组标记父亲结点，num数组标记距离d[i]存在几个
void addedge(int from, int to, ll cap)
    {
edges.push_back((Edge) {from, to, cap, 0});
edges.push_back((Edge) {to, from, 0, 0});
int m = edges.size();
G[from].push_back(m - 2);
G[to].push_back(m - 1);
    }
void init()
    {
MS0(d);
edges.clear();
for (int i = 0; i <= n; ++i) {
G[i].clear();
        }
    }
ll Augumemt()
    {
ll x = t, a = INF;
while (x != s) //找最小的残量值
        {
Edge&e = edges[p[x]];
a = min(a, e.cap - e.flow);
x = edges[p[x]].from;
        }
x = t;
while (x != s) //增广
        {
edges[p[x]].flow += a;
edges[p[x] ^ 1].flow -= a;
x = edges[p[x]].from;
        }
return a;
    }
void bfs()//逆向进行bfs
    {
memset(vis, 0, sizeof(vis));
queue<int>q;
q.push(t);
d[t] = 0;
vis[t] = 1;
while (!q.empty())
        {
int x = q.front(); q.pop();
int len = G[x].size();
for (int i = 0; i < len; i++)
            {
Edge&e = edges[G[x][i]];
if (!vis[e.from] && e.cap > e.flow)
                {
vis[e.from] = 1;
d[e.from] = d[x] + 1;
q.push(e.from);
                }
            }
        }
    }

ll Maxflow(int s, int t) //根据情况前进或者后退，走到汇点时增广
    {
this->s = s;
this->t = t;
ll flow = 0;
bfs();
memset(num, 0, sizeof(num));
for (int i = 0; i < n; i++)
num[d[i]]++;
int x = s;
memset(cur, 0, sizeof(cur));
while (d[s] < n)
        {
if (x == t) //走到了汇点，进行增广
            {
flow += Augumemt();
x = s; //增广后回到源点
            }
int ok = 0;
for (int i = cur[x]; i < G[x].size(); i++)
            {
Edge&e = edges[G[x][i]];
if (e.cap > e.flow && d[x] == d[e.to] + 1)
                {
ok = 1;
p[e.to] = G[x][i]; //记录来的时候走的边，即父边
cur[x] = i;
x = e.to; //前进
break;
                }
            }
if (!ok) //走不动了，撤退
            {
int m = n - 1; //如果没有弧，那么m+1就是n，即d[i]=n
for (int i = 0; i < G[x].size(); i++)
                {
Edge&e = edges[G[x][i]];
if (e.cap > e.flow)
m = min(m, d[e.to]);
                }
if (--num[d[x]] == 0)break; //如果走不动了，且这个距离值原来只有一个，那么s-t不连通，这就是所谓的“gap优化”
num[d[x] = m + 1]++;
cur[x] = 0;
if (x != s)
x = edges[p[x]].from; //退一步，沿着父边返回
            }
        }
return flow;
    }
//  调用前给这里的n赋值，一般为n=T+1;
} gao;
/*
int S = 0;
int T = n + 10;
gao.n = T + 1;
gao.addedge(S, i, c[i]);
gao.Maxflow(S, T);
gao.init();
*/
int n, m;
int k;
int info[maxn][maxn];
int x[maxn];
int y[maxn];
int w[maxn];
int cnt[maxn];
bool check(int t)
{
repd(i, 1, n)
    {
repd(j, 1, m)
        {
info[i][j] = 0;
        }
    }
repd(q, 0, k - 1)
    {
repd(i, max(1, x[q] - t), min(n, x[q] + t))
        {
repd(j, max(1, y[q] - t), min(m, y[q] + t))
            {
if (abs(i - x[q]) + abs(j - y[q]) <= t)
                {
info[i][j] |= (1 << q);
                }
            }
        }
    }

int maxstate = (1 << k) - 1;
repd(i, 0, maxstate)
    {
cnt[i] = 0;
    }
repd(i, 1, n)
    {
repd(j, 1, m)
        {
cnt[info[i][j]]++;
        }
    }

if (cnt[0] > 0)
return 0; // 小小的优化
int T = maxstate + 10;
int S = 0;
gao.n = T + 1;
/*
gao.addedge(S, i, c[i]);
gao.Maxflow(S, T);
*/
repd(j, 0, k - 1)
    {
gao.addedge(S, maxstate + j + 1, w[j]);
    }
repd(i, 1, maxstate)
    {
for (int j = 0; j < k; ++j)
        {
if (i & (1 << j))
            {
gao.addedge(maxstate + j + 1, i, w[j]);
            }
        }
gao.addedge(i, T, cnt[i]);
    }
int res = gao.Maxflow(S, T);
gao.init();
return res >= n * m;
}
int main()
{
#if DEBUG_Switch
freopen("C:\\code\\input.txt", "r", stdin);
#endif
//freopen("C:\\code\\output.txt","w",stdout);
int t;
t = readint();
while (t--)
    {
n = readint(); m = readint();
k = readint();
repd(i, 1, n)
        {
repd(j, 1, m)
            {
info[i][j] = 0;
            }
        }
int sum = 0;
repd(i, 0, k - 1)
        {
x[i] = readint();
y[i] = readint();
w[i] = readint();
sum += w[i];
        }
if (n * m > sum)
        {
printf("-1\n");
continue;
        }
int l = 0;
int r = m + n - 2;
int mid;
int ans;
while (l <= r)
        {
mid = (l + r) >> 1;
if (check(mid))
            {
ans = mid;
r = mid - 1;
            } else
            {
l = mid + 1;
            }
        }
printf("%d\n", ans );
    }

return 0;
}