数学问题 贪心 组合数 lucas定理
题目描述 Description
邪教喜欢在各种各样空间内跳。
现在，邪教来到了一个二维平面。在这个平面内，如果邪教当前跳到了(x,y)，那么他下一步可以选择跳到以下4个点：(x-1,y), (x+1,y), (x,y-1), (x,y+1)。
而每当邪教到达一个点，他需要耗费一些体力，假设到达(x,y)需要耗费的体力用C(x,y)表示。
对于C(x,y)，有以下几个性质：
1、若x=0或者y=0，则C(x,y)=1。
2、若x>0且y>0，则C(x,y)=C(x,y-1)+C(x-1,y)。
3、若x<0且y<0，则C(x,y)=无穷大。
现在，邪教想知道从(0,0)出发到(N,M)，最少花费多少体力（到达(0,0)点花费的体力也需要被算入）。
由于答案可能很大，只需要输出答案对10^9+7取模的结果。
输入描述 Input Description
读入两个整数N，M，表示邪教想到达的点。
输出描述 Output Description
输出仅一个整数，表示邪教需要花费的最小体力对10^9+7取模的结果。
样例输入 Sample Input
1 2
样例输出 Sample Output
6
数据范围及提示 Data Size & Hint
对于10%的数据，满足N, M<=20；
对于30%的数据，满足N, M<=100；
对于60%的数据，满足min(N,M)<=100；
对于100%的数据，满足0<=N, M<=10^12，N*M<=10^12。
数学问题 组合数 lucas定理
看到那个C的表达式就觉得和组合数有关系，于是欢快地打了个小表，发现——和组合数没多大关系
以左上角为顶点，每个位置的值以杨辉三角形式增加。根据这一性质可以想出一个贪心方法：只走直线，先贴着边走到目标点所在的行/列，然后直走过去。
于是ans=max(n,m)+ Σ C(n+m,d) (1<=d<=min(n,m)) ← C是组合数
题解说后面那个ΣC 就等于C(n+m+1,min(n,m))
看到别的题解写了lucas定理，自己想了想觉得可以暴力推过去。N*M<=10^12，根据C(n,m)=c(n,n-m)的性质可知公式求组合数最多循环10^6次，可以接受。
确实可以推过去，然而WA了几个点，原因是这样算，乘数爆longlong了。
又加了个快速乘就过了。
下附lucas定理写法：
1 /*by SilverN*/
2 #include<algorithm>
3 #include<iostream>
4 #include<cstring>
5 #include<cstdio>
6 #include<cmath>
7 #include<vector>
8 #define LL long long
9 using namespace std;
10 const int mod=1e9+7;
11 LL ksmul(LL a,LL b){
12 a%=mod;b%=mod;LL res=0;
13 while(b){
14 if(b&1){res+=a;if(res>mod)res-=mod;}
15 a=(a<<1)%mod;
16 b>>=1;
17 }
18 return res;
19 }
20 LL ksm(LL a,LL k){
21 LL res=1;
22 while(k){
23 if(k&1)res=ksmul(res,a);
24 a=ksmul(a,a);
25 k>>=1;
26 }
27 return res;
28 }
29 LL solve(LL n,LL m){
30 m=max(m,n-m);
31 LL res=1,inv=1;
32 for(LL i=m+1;i<=n;i++){
33 res=ksmul(res,i);
34 inv=ksmul(inv,i-m);
35 // printf("res:%lld inv:%lld\n",res,inv);
36 }
37 inv=ksm(inv,mod-2)%mod;
38 res=ksmul(res,inv);
39 return res;
40 }
41 LL n,m,ans=0;
42 int main(){
43 int i,j;
44 scanf("%lld%lld",&n,&m);
45 if(n<m)swap(n,m);
46 ans+=n%mod;
47 (ans+=solve(n+m+1,m))%=mod;
48 printf("%lld\n",ans);
49 return 0;
50 }
lucas还是快一点
1 /*by SilverN*/
2 #include<algorithm>
3 #include<iostream>
4 #include<cstring>
5 #include<cstdio>
6 #include<cmath>
7 #include<vector>
8 #define LL long long
9 using namespace std;
10 const int mod=1e9+7;
11 LL ksm(LL a,LL k){
12 LL res=1;
13 while(k){
14 if(k&1)res=(res*a)%mod;
15 a=(a*a)%mod;
16 k>>=1;
17 }
18 return res;
19 }
20 LL clc(LL n,LL m){
21 if(n<m)return 0;
22 m=min(m,n-m);
23 LL res=1,inv=1;
24 for(LL i=1;i<=m;i++){
25 res=res*(n-i+1)%mod;
26 inv=inv*i%mod;
27 }
28 res=res*(ksm(inv,mod-2))%mod;
29 return res;
30 }
31 LL lucas(LL a,LL b){
32 if(!b)return 1;
33 return clc(a%mod,b%mod)*(lucas(a/mod,b/mod)%mod)%mod;
34 }
35 LL n,m,ans=0;
36 int main(){
37 int i,j;
38 scanf("%lld%lld",&n,&m);
39 if(n<m)swap(n,m);
40 ans+=n%mod;
41 (ans+=lucas(n+m+1,m))%=mod;
42 printf("%lld\n",ans);
43 return 0;
44 }
lucas
本文为博主原创文章，转载请注明出处。
