[gym102798F]Skeleton Dynamization

考虑对于第$i$层$x$与第$i+1$层所对应的点$y$，点$p$在前$i$层中当且仅当$p$到$x$比$p$到$y$距离小

由此，考虑枚举第一层的一个点以及对应到第二层的边，通过bfs就可以确定第一层的点

接下来，标记第一层的点后，第一层的点剩下到未标记的点即为第二层的点，以此类推，就可以$o(m)$的确定所有点（注意还要判断）

注意到度数最小的点，必然出现在第一层或最后一层（否则第一层或最后一层对应的点度数少1），根据对称性，不难证明对于任意一个度数最少的点，存在一组方案满足其在第一层中

同时，度数最小的点的度数不超过$\min(\frac{m}{n},n)$，即$o(\sqrt{m})$，总复杂度为$o(m\sqrt{m})$

1 #include<bits/stdc++.h>
  2 using namespace std;
  3 #define N 100005
  4 struct ji{
  5     int nex,to;
  6 }edge[N<<2];
  7 queue<int>q;
  8 vector<int>v[N],ansv[N];
  9 int E,n,m,x,y,ans,head[N],r[N],d[N],d0[N],vis[N],pos[N];
 10 void add(int x,int y){
 11     edge[E].nex=head[x];
 12     edge[E].to=y;
 13     head[x]=E++;
 14 }
 15 void bfs(int k){
 16     memset(d,0x3f,sizeof(d));
 17     d[k]=0;
 18     q.push(k);
 19     while (!q.empty()){
 20         int k=q.front();
 21         q.pop();
 22         for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex)
 23             if (d[edge[i].to]==0x3f3f3f3f){
 24                 d[edge[i].to]=d[k]+1;
 25                 q.push(edge[i].to);
 26             }
 27     }
 28 }
 29 bool check(){
 30     if (n%v[1].size())return 0;
 31     if ((m-(n-v[1].size()))%(n/v[1].size()))return 0;
 32     memset(vis,0,sizeof(vis));
 33     for(int i=0;i<v[1].size();i++)pos[v[1][i]]=i;
 34     for(int i=1;i<n/v[1].size();i++){
 35         for(int j=0;j<v[i].size();j++)vis[v[i][j]]=1;
 36         v[i+1].clear();
 37         for(int j=0;j<v[i].size();j++){
 38             int to=0;
 39             for(int k=head[v[i][j]];k!=-1;k=edge[k].nex)
 40                 if (!vis[edge[k].to]){
 41                     if (to)return 0;
 42                     to=edge[k].to;
 43                 }
 44             v[i+1].push_back(to);
 45             pos[to]=j;
 46         }
 47     }
 48     int sum=2*(m-(n-v[1].size()))/(n/v[1].size());
 49     for(int i=0;i<v[1].size();i++)
 50         for(int j=head[v[1][i]];j!=-1;j=edge[j].nex)
 51             if (pos[edge[j].to]!=i)sum--;
 52     if (sum)return 0;
 53     for(int i=0;i<v[1].size();i++){
 54         for(int j=0;j<v[1].size();j++)vis[j]=0;
 55         for(int j=head[v[1][i]];j!=-1;j=edge[j].nex)
 56             if (pos[edge[j].to]!=i)vis[pos[edge[j].to]]=1;
 57         for(int j=2;j<=n/v[1].size();j++){
 58             sum=0;
 59             for(int k=head[v[j][i]];k!=-1;k=edge[k].nex)
 60                 if (pos[edge[k].to]==i)sum++;
 61                 else{
 62                     if (!vis[pos[edge[k].to]])return 0;
 63                 }
 64             if (sum!=2-(j==n/v[1].size()))return 0;
 65         }
 66     }
 67     return 1;
 68 }
 69 int main(){
 70     scanf("%d%d",&n,&m);
 71     memset(head,-1,sizeof(head));
 72     for(int i=1;i<=m;i++){
 73         scanf("%d%d",&x,&y);
 74         add(x,y);
 75         add(y,x);
 76         r[x]++,r[y]++;
 77     }
 78     r[0]=r[1];
 79     for(int i=1;i<=n;i++)r[0]=min(r[0],r[i]);
 80     for(int i=1;i<=n;i++)
 81         if (r[i]==r[0])x=i;
 82     bfs(x);
 83     memcpy(d0,d,sizeof(d));
 84     for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].nex){
 85         y=edge[i].to;
 86         bfs(y);
 87         v[1].clear();
 88         for(int j=1;j<=n;j++)
 89             if (d0[j]<d[j])v[1].push_back(j);
 90         if ((check())&&(n/v[1].size()>ans)){
 91             ans=n/v[1].size();
 92             for(int j=1;j<=ans;j++)ansv[j]=v[j];
 93         }
 94     }
 95     if (!ans){
 96         printf("1 %d\n",n);
 97         for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",i);
 98         return 0;
 99     }
100     printf("%d %d\n",ans,n/ans);
101     for(int i=1;i<=ans;i++){
102         for(int j=0;j<ansv[i].size();j++)printf("%d ",ansv[i][j]);
103         printf("\n");
104     }
105 }

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