参考书:F. R. Gantmacher 《The Theory of matrices》Vol. 2
1. 厄米、正交矩阵 \(G = I e^{iK}\),\(I\) 为实对称对合矩阵,\(K\)为实反对称矩阵,\(I,K\)对易。设实矩阵 \(S,T\) 满足 \(G = S + iT\),因为 \(G\) 是厄米,所以有
因为 \(G\) 是正交阵,所以有
因为实数阵 \(S,T\) 是对易的正规算子,所以有正交归一基,在该基下,\(S\) 对应实数对角阵,\(T\) 对应反对称的实数正则矩阵。因为 \(S^2 + T^2 = E\),所以在正则矩阵的每个 \(2\times 2\) 的分块中,
有 \(\mu^2 - \nu^2 = 1\),那些单个的实数特征值则绝对值为 \(1\),另外,
所以取 \(\mu = \epsilon cosh \varphi, \epsilon = \pm 1, \epsilon sinh \varphi = \nu\) 即可。
所以,\(G = I e^{iK}\),
显然 \(I\) 是对合阵,\(I,K\)对易。
2. 厄米、正交、正定矩阵\(G\)多一个正定条件,则\(G\)的特征值都是正的,那么可以计算得到,所有 \(\epsilon = 0\), \(G\) 的特征值为 \(e^{\pm \varphi_1}, \cdots, 1, 1, \cdots\),上式中 \(I = E\)。
3. 任意复数的正交矩阵 \(Q= R e^{iK}\),其中 \(R\) 是实数正交矩阵,\(K\) 是实数反对称矩阵- 因为 \(Q\) 是正交阵,即 \(Q^\top Q = Q Q^\top = E\),所以构造 \(Q^\dagger Q\),既是厄米的,也是正交的,也是正定的,所以有 \(Q^\dagger Q = e^{iK}\), \(K\)是反对易正则形式,如 #1 中所示。
- 假设 \(Q = R e^{iK/2}\), 则有 \(R = Q e^{-iK/2}\),可以检验,\(R\) 是幺正、正交阵,即实数正交阵,而 \(K\) 是实数反对称阵,所以得证。
这个定理的形式非常妙!就像复数的指数形式一样!
证明省略。
5. 任意幺正矩阵 \(U = Re^{iS}\),\(R\)是实正交阵,\(S\)是实对称阵。证明省略。这两个定理的证明都非常类似于上面记录的过程。