防止遗忘，好记性不如烂博文（雾
线段树这年头怎么在哪儿码题都能碰到这玩意儿
线段树（\(\text{Segment tree}\)）可谓是 \(\text{OIer}\) 们的家常便饭，应用于维护区间信息（需满足结合律）。另外别跟我拿树状数组和它比。
从小见大，边看题边学习~
维护区间和
（洛谷 \(\text{P3372}\) 【模板】线段树 \(\text{1}\)）
题目描述
已知一个数列，你要进行下面两种操作：
- 将某区间每一个数加上 \(\text{x}\)。
- 求出区间和。
输入格式
第一行包含两个整数 \(\text{n, m}\)，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。
第二行包含 \(\text{n}\) 个用空格分隔的整数，其中第 \(\text{i}\) 个数字表示数列第 \(\text{i}\) 项的初始值。
接下来 \(\text{m}\) 行每行包含 \(\text{3}\) 或 \(\text{4}\) 个整数，表示一个操作，具体如下：
操作 \(\text{1}\)： 格式：\(\text{1 x y k}\) 含义：将区间 \(\text{[x,y]}\) 内每个数加上 \(\text{k}\)。
操作 \(\text{2}\)： 格式：\(\text{2 x y}\) 含义：输出区间 \(\text{[x,y]}\) 内每个数的和。
输出格式
输出包含若干行整数，即为所有操作 \(\text{2}\) 的结果。
基本的建树
线段树是一棵平衡二叉树，根节点维护全区间，然后往下对半分（即每个节点都存了条线段）。不保证岁有的区间都是线段树的节点。当然还要依题存区间和啊什么的值。
编号为 \(\text{k}\) 的节点，左右儿子节点编号分别为 \(\text{k << 1, k << 1 | 1}\)，若节点 \(\text{k}\) 存储区间 \(\text{[l,r]}\) 的和，则左右儿子节点分别存储区间 \(\text{[l, mid]}\) 和 \(\text{mid + 1, r}\) 的和，其中 \(\text{mid = l + r >> 1}\)，左节点存储区间长度，与右节点相同或多 \(\text{1}\)。
递归建立线段树：
void build (int l, int r, int p) {
if (l == r) { // 叶子结点
t[p] = a[l]; // 直接取数组值
return ;
}
int mid = l + r >> 1;
build (l, mid, p << 1);
build (mid + 1, r, p << 1 | 1); // 建立儿子节点
t[p] = t[p << 1] + t[p << 1 | 1]; // 本节点值为儿子节点和
}
区间修改
引入懒标记，朴素想法为使用递归一层层修改，但复杂度较高。使用懒标记后，对于恰好是线段树节点的区间，直接打上标记，不用递归，等用到他的子区间时，向下传递。
void upd (int cl, int cr, int d, int p = 1, int l = 1, int r = n) {
// 参数意义：最初修改的区间，修改值，当前分出来的区间所在的节点
if (l > cr or r < cl) { // 区间无交集
return ;
}
if (l >= cl and r <= cr) {
// 直接在区间节点上加，其实换成 == 没影响
t[p] += (r - l + 1) * d;
if (r > l) tag[p] += d;
return ;
}
int mid = l + r >> 1;
tag[p << 1] += tag[p]; // 传递标记
tag[p << 1 | 1] += tag[p];
t[p << 1] += tag[p] * (mid - l + 1);
t[p << 1 | 1] += tag[p] * (r - mid); // 向下更新
tag[p] = 0; // 清除标记
upd (cl, cr, d, p << 1, cl, mid);
upd (cl, cr, d, p << 1 | 1, mid + 1, r); // 重复步骤，继续向下更新
t[p] = t[p << 1] + t[p << 1 | 1]; //更新当前节点
}
中间有一段常被习惯性地封装：
inline void push_down (int p, int len) {
tag[p << 1] += tag[p]; // 传递标记
tag[p << 1 | 1] += tag[p];
t[p << 1] += tag[p] * (len - len / 2);
t[p << 1 | 1] += tag[p] * (len / 2); // 向下更新
tag[p] = 0; // 清除标记
}
然后直接在 \(\text{upd}\) 函数里调用：
push_down (p, r - l + 1);
单点修改。。。让修改区间左右端点相等即可。
区间查询
跟上面差不多
int query (int ql, int qr, int p = 1, int l = 1, int r = n) {
if (l > qr or r < ql) return ;
if (ql <= l and qr >= r) return t[p];
int mid = l + r >> 1;
push_down (p, r - l + 1);
return query (ql, qr, p << 1, l, mid) +
query (ql, qr, p << 1 | 1, mid + 1, r);
}
没了。
实际上线段树还可以维护区间最值、区间 \(\text{gcd}\) 等等，操作除了区间加也可以是区间乘、区间赋值，了解原理后很容易改。
