VC dimension
讲到了如果通过最小化训练误差，使用一个具有d个参数的hypothesis class进行学习，为了学习好，一般需要参数d的线性关系个训练样本。到这里需要指出一点，这个结果是基于empirical risk minimization得到的，而对于那些大部分的discriminative的学习算法采用的通过最小化training error或者training error的近似值，前面推导的结论并不总是可以用，而对于non_ERM 学习，给出好的理论保证仍然是一个活跃的研究领域。
In other words, the number of training examples needed to learn “well” using H is linear in the VC dimension of H.而对于大部分的hypothesis classes，VC dimension粗略的等于参数的个数。
model selection
How can we automatically select a model that represents a good tradeoff between the twin evils of bias and variance？
最直观的方法：直接选择最smallest training error的hypothesis
这种方法不行，比如多项式的阶数，这种方法总会选择得到high-variance，high-degree polynomial model。
hold-out cross validation
随机把S分为训练集和验证集，在训练集上训练hypothesis model，在验证集上获取hypothesis，然后选择最小验证误差的hypothesis，之后再用全部的数据进行训练。但是对于那些对初始条件或者初始数据比较敏感的算法，最好不要再进行retraining，因为在训练集上表现好的model，并不一定意味着在验证集上也表现好。这种hold-out cross validation的方法主要的缺点就是waste样本数据，即使是采用了retraining。
k-fold cross validation
随机将S分割为大小相同的k份，每次在k-1份上进行训练，而在另外一份上进行validation，循环k次，将每次得到的误差进行平均作为estimated generalization error，然后挑选最低的model，最后retraining这个model在整个S上。一般选择k为10。
leave-one-out cross validation
上一个方法中，将k=样本数量m，就叫做leave-one-out cross validation。
上面两种方法进行cross validation都会有计算量的问题，实际上当样本数量足够多时，可以采用hold-out cross validation，样本数量不足而计算能力达到要求时，可以采用k-fold或者leave one out的cross validation。
Feature Selection
Feature Selection是model selection的一种特殊和重要的案例，主要有两种方法：前向搜索和后向搜索，前向搜索是从空集开始逐个添加剩余最好的进来，而后向搜索是从满集开始，逐个剔除其中最差的出去。这两种方法的缺点就是计算量大。
还有一种是filter feature selection，采用启发式的选择，计算量相比上面两种要小，主要的思想是计算xi与y的相关度，或者是互信息等。
