说实话，这次的初赛比上一次的要简单。
不过还有些变态的题目。
- 在一条长度为1 的线段上随机取两个点，则以这两个点为端点的线段的期望
长度是（ ）。
A. 1 / 2
B. 1 / 3
C. 2 / 3
D. 3 / 5
赛场做法
这题，一眼看下去，我就有点懵了。
后来，又想想有关期望的性质，然后……
画出一条线段，平均分成几份，将所有情况求出来，然后算出期望值。
算了两次，第一次分4份，第二次分6分。
结果都是13\frac{1}{3}31
证明
我在网上翻到一篇有关这个的证明的博客，结果，那博客秀了强大的微积分……
后来，同学告诉我一个比较好理解的证法：
考虑归纳证明
假设现在有一条线段，长度为lll。
利用分治的思想，在中间取个中点，设为MMM。它将线段等分成两段。
设最终得到的线段的端点分别为XXX，YYY。
根据它们的位置，大体上有两种情况：
- XXX和YYY在MMM异侧，则XY‾=XM‾+YM‾\overline{XY}=\overline{XM}+\overline{YM}XY=XM+YM。显然，在期望情况下，两者皆为x4\frac{x}{4}4x，所以，XY‾=x2\overline{XY}=\frac{x}{2}XY=2x。
- XXX和YYY在MMM同侧，则XY‾=x6\overline{XY}=\frac{x}{6}XY=6x
∴x2+x62=x3\therefore\frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{6}}{2}=\frac{x}{3}∴22x+6x=3x
得证。
- 假设一台抽奖机中有红、蓝两色的球，任意时刻按下抽奖按钮，都会等概率
获得红球或蓝球之一。有足够多的人每人都用这台抽奖机抽奖，假如他们的
策略均为：抽中蓝球则继续抽球，抽中红球则停止。最后每个人都把自己获
得的所有球放到一个大箱子里，最终大箱子里的红球与蓝球的比例接近于
（ ）。
A. 1 : 2
B. 2 : 1
C. 1 : 3
D. 1 : 1
赛场做法&证明
其实这个比较简单。
设蓝球期望为xxx，则x=1+x2x=\frac{1+x}{2}x=21+x。
解得x=1x=1x=1
方程 a*b = (a or b) * (a and b)，在 a,b 都取 [0, 31] 中的整数时，
共有_____组解。（*表示乘法；or 表示按位或运算；and 表示按位与运算）
赛场做法
第一眼看下去，就觉得这一定是一道神仙题。
果然，还真TM是神仙题。
我先考虑了一个情况：
如果a and ba\ and\ ba and b和a or ba\ or \ ba or b中，这两个数由aaa和bbb组成。
那么很显然的是，一定有其中一个是另外一个的子集。
然后乱搞一波，减去重复的，得出454454454。
然后我还觉得有其它的情况，结果想了半天，没有想出来，最后就交了这个答案……
于是莫名切了。
证明
设x=a xor bx=a\ xor\ bx=a xor b
a and b=a+b−x2a\ and\ b=\frac{a+b-x}{2}a and b=2a+b−x
a or b=a+b+x2a\ or\ b=\frac{a+b+x}{2}a or b=2a+b+x
∴(a and b)∗(a or b)=(a+b)2−x24\therefore \left(a\ and\ b\right)*\left(a\ or\ b\right)=\frac{\left(a+b\right)^2-x^2}{4}∴(a and b)∗(a or b)=4(a+b)2−x2
∴a∗b=(a+b)2−x24\therefore a*b=\frac{\left(a+b\right)^2-x^2}{4}∴a∗b=4(a+b)2−x2
∴(a−b)2=x2\therefore \left(a-b\right)^2=x^2∴(a−b)2=x2
得证。
然后就没有什么别的特别难的题目了。
总结一下：
- 期望题分治看看。
- 位运算有很多规律，有时候异或很有用。
