[Usaco2007 Nov]Telephone Wire 架设电话线

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Description

最近，Farmer John的奶牛们越来越不满于牛棚里一塌糊涂的电话服务 于是，她们要求FJ把那些老旧的电话线换成性能更好的新电话线。 新的电话线架设在已有的N(2 <= N <= 100,000)根电话线杆上， 第i根电话线杆的高度为height_i米(1 <= height_i <= 100)。 电话线总是从一根电话线杆的顶端被引到相邻的那根的顶端 如果这两根电话线杆的高度不同，那么FJ就必须为此支付 C*电话线杆高度差(1 <= C <= 100)的费用。当然，你不能移动电话线杆， 只能按原有的顺序在相邻杆间架设电话线。Farmer John认为 加高某些电话线杆能减少架设电话线的总花费，尽管这项工作也需要支出一定的费用。 更准确地，如果他把一根电话线杆加高X米的话，他得为此付出X^2的费用。 请你帮Farmer John计算一下，如果合理地进行这两种工作，他最少要在这个电话线改造工程上花多少钱。

Input

* 第1行: 2个用空格隔开的整数：N和C

* 第2..N+1行: 第i+1行仅有一个整数：height_i

Output

* 第1行: 输出Farmer John完成电话线改造工程所需要的最小花费

Sample Input

5 2
2
3
5
1
4
输入说明:
一共有5根电话线杆，在杆间拉电话线的费用是每米高度差$2。
在改造之前，电话线杆的高度依次为2，3，5，1，4米。


Sample Output

15
输出说明:
最好的改造方法是：Farmer John把第一根电话线杆加高1米，把第四根加高2米，
使得它们的高度依次为3，3，5，3，4米。这样花在加高电线杆上的钱是$5。
此时，拉电话线的费用为$2*(0+2+2+1) = $10，总花费为$15。

HINT

 

Source

 

由题意易得出DP方程

f[i][j] = min(f[i-1][k]+|j-k|*c+(a[i]-j)*(a[i]-j))
时间复杂度为O(N*100*100)

摘出与k无关项得
f[i][j] = min(f[i-1][k]+|j-k|*c) + (a[i]-j)*(a[i]-j)

记P = min(f[i-1][k]+|j-k|*c) , Q = (a[i]-j)*(a[i]-j)
则f[i][j] = P + Q

易知
P = min(A,B),其中
A = min(f[i-1][k]+(j-k)*c) (k<=j)
B = min(f[i-1][k]+(k-j)*c) (k>j)

A = min(f[i-1][k]-k*c) + j*c
B = min(f[i-1][k]+k*c) - j*c

记C[X][i] = min(f[X][k] - k*c)  k∈[1,i]
记D[X][i] = min(f[X][k] + k*c)  k∈[i,n]

则A = C[i-1][j] + j*c
则B = D[i-1][j+1] - j*c
写的好：http://blog.csdn.net/icecathy/article/details/52765627
 1 #include<cstring>
 2 #include<cmath>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<iostream>
 5 #include<cstdio>
 6 
 7 #define N 100007
 8 #define H 107
 9 #define INF 0x3f3f3f3f
10 typedef long long ll;
11 using namespace std;
12 inline int read()
13 {
14     int x=0,f=1;char ch=getchar();
15     while(ch>'9'||ch<'0'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
16     while(ch<='9'&&ch>='0'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
17     return x*f;
18 }
19 int n,c;
20 int h;
21 int height[N];
22 int p,q,a,b,C[H],d[H];
23 int f[N][H];
24 int main()
25 {
26     scanf("%d%d",&n,&c);
27     for (int i=1;i<=n;i++) 
28         scanf("%d",&height[i]);
29     h=height[1];
30     for (int i=1;i<=n;i++)
31         h=max(h,height[i]);
32     h=min(h,100),memset(f,0x3f,sizeof(f));
33     for (int i=1;i<=n;i++)
34     {
35         if(i==1) 
36             for (int j=height[1];j<=h;j++)
37                 f[1][j]=(j-height[1])*(j-height[1]);
38         else 
39             for (int j=height[i];j<=h;j++)
40             {
41                 q=(j-height[i])*(j-height[i]);
42                 a=C[j]+j*c;
43                 b=d[j+1]-j*c;
44                 p=min(a,b);
45                 f[i][j]=p+q;
46             }
47         C[0]=d[h+1]=INF;
48         for (int j=1;j<=h;j++)
49             C[j]=min(C[j-1],f[i][j]-j*c);
50         for (int j=h;j>=1;j--)
51             d[j]=min(d[j+1],f[i][j]+j*c);    
52     }
53     int ans=INF;
54     for (int i=1;i<=h;i++)
55         ans=min(ans,f[n][i]);
56     printf("%d\n",ans);
57 }