【算法入门07】斐波那契数列
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核心考点：空间复杂度，fib理解，剪枝重复计算
大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个正整数n，请你输出斐波那契数列的第n项。
斐波那契数列是一个满足
的数列。
解析一：（非常不提倡）
题目已经给出了斐波那契数列的状态转移方程，因此我们可以很容易使用递归的方式来求得第n个斐波那契数。
但如果使用递归来解决该问题，就不得不面对一个问题，那就是大量的重复计算，若是我们要得到第40个斐波那契数，那我们大致需要经历以下路径。
可以看到，图中对于同一斐波那契数进行了多次计算，而且越往下对于同一斐波那契数的重复计算次数越多，因此并不提倡使用递归的方法解决该问题。
//递归
class Solution {
public:
int Fibonacci(int n) {
if (n == 1 || n == 2) //fib(1)=1, fib(2)=1
return 1;
return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2); //fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)
}
};
解析二：（不提倡）
既然使用递归存在大量的重复计算，那么我们可以考虑将已经计算过的斐波那契数保存起来，这样便避免了斐波那契数的重复计算。
例如，在计算第40个斐波那契数的中途需要计算第38个斐波那契数，而第38个斐波那契数已经被计算过了，那就无需再从此处递归下去了。
从图中看来就是不用再计算二叉树的某一枝叶了，因此该方法被形象的称为“剪枝”。
将递归和剪枝配合起来使用，其时间复杂度相比单纯的递归来说简直快了太多了，但该方法也有一个弊端，那就是需要额外的内存空间来暂时保存已经计算过的斐波那契数。
//递归+剪枝
class Solution {
private:
unordered_map<int, int> filter; //存储已经计算过的斐波那契数
public:
int Fibonacci(int n) {
if (n == 1 || n == 2) //fib(1)=1, fib(2)=1
return 1;
int pper = 0; //第n-2个斐波那契数
if (filter.find(n - 2) == filter.end())
{
//在map当中没有找到第n-2个斐波那契数，需要计算
pper = Fibonacci(n - 2);
filter.insert({ n - 2, pper });
}
else
{
//在map当中找到了第n-2个斐波那契数，直接获取
pper = filter[n - 2];
}
int per = 0; //第n-1个斐波那契数
if (filter.find(n - 1) == filter.end())
{
//在map当中没有找到第n-1个斐波那契数，需要计算
per = Fibonacci(n - 1);
filter.insert({ n - 1, per });
}
else
{
//在map当中找到了第n-1个斐波那契数，直接获取
per = filter[n - 1];
}
return pper + per; //fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)
}
};
解析三：（正解）
递归实际上是从终点看向起点，现在我们从起点看向终点，从第一个斐波那契数往后进行计算，需要第几个斐波那契数就计算到第几个。
而在该过程中我们不需要将所有计算过的斐波那契数全部保存起来，因为一个斐波那契数的值只与其前面两个斐波那契数有关。
我们任何时刻只需要保存蓝色方框当中的数据，可以看到蓝色方框的数据是时刻在变化的，因此该方法被形象的称为“动态规划”。
//动规
class Solution {
public:
int Fibonacci(int n) {
if (n == 1 || n == 2) //fib(1)=1, fib(2)=1
return 1;
int first = 1; //fib(1)=1
int second = 1; //fib(2)=1
int third = 0;
while (n > 2) //进行n-2次计算
{
//fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)
third = first + second;
first = second;
second = third;
n--;
}
return third;
}
};
