二项式系数相关的恒等式太多了，学了就忘，为了加深记忆以及复习，就把自己知道的所有恒等式都写在这里（大雾
暂时不扩展到广义二项式系数
基本恒等式
\[\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\]
\[\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1}\]
\[\binom{n}{0}=1\]
\[\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}\]
一些重要和式
二项式定理
\[\sum\limits_{0 \le k \le n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}=(x+y)^n\]
下面是关于二项式定理的一些推论
\[(1+1)^n=\sum\limits_{0 \le k \le n}\binom{n}{k}=2^n\]
\[(1-1)^n=\sum\limits_{0 \le k \le n}(-1)^k\binom{n}{k}=0\]
\[(x+1)^n=\sum\limits_{0 \le k \le n}x^k\binom{n}{k}\]
上指标求和
\[\sum\limits_{0 \le k \le n}\binom{k}{m}=\binom{n+1}{m+1}\]
平行求和
\[\sum\limits_{k \le n}\binom{m+k}{k}=\binom{n+m+1}{n}\]
范德蒙恒等式
\[\sum\limits_{0 \le k \le s}\binom{n}{k}\binom{m}{s-k}=\binom{n+m}{s}\]
当 \(n=m\) 时有
\[\sum\limits_{0 \le k \le s}\binom{n}{k}^2=\binom{2n}{s}\]
一些小trick
吸收系数技巧
\[\binom{n}{m}=\frac{n}{m}\binom{n-1}{m-1}\]
吸收指标技巧
\[\binom{n}{m}\binom{m}{k}=\binom{n}{k}\binom{n-k}{m-k}\]
什么时候想到了新的再补（（
© 版权声明 文章版权归作者所有，未经允许请勿转载。
