文章目录
- 0 笔记说明
- 1 向量范数
- 2 矩阵范数
- 3 诱导范数(算子范数)
- 4 矩阵序列与极限
- 5 矩阵幂级数
- 6 矩阵的测度
0 笔记说明
参考书籍为：
本笔记主要是为了方便自己日后复习。由于未学习LaTeX，我会上传教材图片或者手写图片代替部分公式或内容。本博客是对教材中重要定理、定义的整理，根据自身学习需要，我可能会增加必要内容。
本篇博客是关于第五章的内容，下面开始即为正文。
1 向量范数
1、向量范数不唯一：向量(或矩阵)范数是向量(或矩阵)的数字特征，在某种意义上范数相当于实数和复数的绝对值。向量范数是比向量长度更一般的概念。引人一个内积运算后，向量长度是唯一的，但是一个向量可以有多个向量范数，只要它满足向量范数定义即可。
2、向量范数：设V是数域F(一般为实数域R或复数域C)上的线性空间，用||x||表示按照某个法则确定的与向量x对应的实数，且满足：
（1）非负性：当x≠0，||x||>0；当且仅当x=0时，||x||=0；
（2）齐次性：||kx||=|k|·||x||，其中k为数域F上的任意数；
（3）三角不等式：对于V中任何向量x、y，都有||x+y||≤||x||+||y||。
则称实数||x||是向量x的范数。由向量范数定义不难验证：
（1）||-x||=||x||；
（2）||x-y||≥|(||x||-||y||)|；
（3）||x+y||≥|(||x||-||y||)|。
3、Holder不等式：设p>1，q=p/(p-1)，则：
其中ak≥0，且bk≥0。4、Minkowski不等式：对任何p≥1，有：
5、向量x的p-范数：设向量x=(x1,x2,…,xn)T，对任意数p≥1，称：
为向量x的p-范数。
6、常用p-范数：
（1）1-范数：
（2）2-范数：
上式也称为欧氏范数。（3）∞-范数：
对于∞-范数，有：||x||∞=max|xi|，其中i=1,2,…,n。7、在一个线性空间中，可以引进各种范数，按照不同法则规定的向量范数，其大小一般不等。例如对Rn中的向量x=(1,1,…,1)T，有：
8、向量范数的等价性：虽然对于一个向量来说，不同的范数有不同的值，但是这些范数之间有着重要的关系。如在考虑向量序列收敛性时，它们就表现出明显的一致性，这种性质称为范数的等价性。设V是n维线性空间，||x||α和||x||β为任意两种向量范数(不限于p-范数)，则总存在正数c1、c2，使得对于V中所有向量x，恒有：c1||x||β≤||x||α≤c2||x||β。
2 矩阵范数
1、矩阵范数：对于任何一个矩阵A∈Cm×n，用||A||表示按照某个法则确定的与矩阵A对应的实数，且满足：
（1）非负性：当A≠0时，||A||>0；当且仅当A=0时，||A||=0；
（2）齐次性：||kA||=|k|·||A||，其中k为任意复数；
（3）三角不等式：对于任何两个同类型矩阵A、B，都有||A+B||≤||A||+||B||；
（4）矩阵乘法相容性：若A与B可乘，有||AB||≤||A||·||B||。
则称对应于A的这个实数||A||是矩阵A的矩阵范数。
2、向量1-范数到矩阵范数的推广：对于矩阵A=(aij)∈Cm×n，||A||为：
是矩阵范数，它是向量1-范数的形式推广。3、Frobenius范数：对于矩阵A=(aij)∈Cm×n，规定||A||F为：
称||A||F为矩阵A的Frobenius范数，这是向量范数中欧氏范数的形式推广。
4、Frobenius范数的性质：矩阵A∈Cm×n，有：
（1）若A=(α1,α2,…,αn)，则：
（2）如下，其中λi(AHA)表示n阶方阵AHA的第i个特征值，tr(AHA)是AHA的迹：
（3）对于任何m阶酉矩阵U与n阶酉矩阵V，都有等式：
5、矩阵范数的等价性：若||A||α和||A||β为任意两种矩阵范数，则总存在正数c1、c2，使得对于所有矩阵A∈Cm×n，恒有：c1||A||β≤||A||α≤c2||A||β。
3 诱导范数(算子范数)
由于时间问题，省略这一部分，以后用到才会补。
4 矩阵序列与极限
由于时间问题，省略这一部分，以后用到才会补。
5 矩阵幂级数
由于时间问题，省略这一部分，以后用到才会补。
6 矩阵的测度
由于时间问题，省略这一部分，以后用到才会补。
END
