processon立方体

文章目录

• 1 超立方体
• 2 Processing实现可视化
• 3 拓展知识（图论）
• 4 参考资料

1 超立方体

  百度百科对超立方体的描述：超立方体是数学中立方体的四维类似物，所谓的点动成线，线动成面，面动成体。在四维空间(非三维-时间概念)中，立方体的移动形成四维的超立方体，由无数个立方体所组成的，具有四维的观念。

  在几何学中，超立方体是立方体的四维类比，有8个立方体胞。四维超正方体之于立方体，就如立方体之于正方形。它是四维欧式空间中6个四维凸正多胞体之一。

  那么它的概念图呢，就长成下面这样。

  下面解释一下这个概念图是怎么来的。拿我们三维空间举例子，我们就生活在三维空间，我们眼中看到的景象全部都是物体在我们视网膜上的投影，也就是说我们眼中的其实是三维空间的物体到二维平面上的投影。借助这个思路，虽然我们没办法想象超立方体是什么样的，但是我们可以借助投影，将四维下的超立方体投影到三维空间下，我们不就能看见了么。所以上面这个概念图，它就是超立方体在三维空间下的投影。

2 Processing实现可视化

  知道了它是投影来的，我们就可以用一些工具，来模拟一下这个投影，这里我用的是Processing，利用旋转矩阵旋转超立方体，运行出来就是下面这个样子。

下面是代码，有兴趣的朋友可以自己下载一个Processing，运行一下玩一玩。

theta = 0
points = []
def setup():
    size(1000, 800, P3D)
    global points
    # 四维空间下超立方体16个顶点的坐标
    points =[[-100, -100, -100, 100],
             [100, -100, -100, 100],
             [100, 100, -100, 100],
             [-100, 100, -100, 100],
             [-100, -100, 100, 100],
             [100, -100, 100, 100],
             [100, 100, 100, 100],
             [-100, 100, 100, 100],
             [-100, -100, -100, -100],
             [100, -100, -100, -100],
             [100, 100, -100, -100],
             [-100, 100, -100, -100],
             [-100, -100, 100, -100],
             [100, -100, 100, -100],
             [100, 100, 100, -100],
             [-100, 100, 100, -100]]
    

def draw():
    global theta, points
    background(0)
    translate(width/2, height/2)
    rotateY(-PI/2)
    
    projected3d = []
    for v in points:
        stroke(255)
        strokeWeight(16)
        noFill()
        
        # 一堆旋转矩阵
        rotationXY = [[cos(theta), -sin(theta), 0, 0],
                      [sin(theta), cos(theta), 0, 0],
                      [0, 0, 1, 0],
                      [0, 0, 0, 1]]
        rotationXZ = [[cos(theta), 0, -sin(theta), 0],
                      [0, 1, 0, 0],
                      [sin(theta), 0, cos(theta), 0],
                      [0, 0, 0, 1]]
        rotationXW = [[cos(theta), 0, 0, -sin(theta)],
                      [0, 1, 0, 0],
                      [0, 0, 1, 0],
                      [sin(theta), 0, 0, cos(theta)]]
        rotationZW = [[1, 0, 0, 0],
                      [0, 1, 0, 0],
                      [0, 0, cos(theta), -sin(theta)],
                      [0, 0, sin(theta), cos(theta)]]
        rotationYW = [[1, 0, 0, 0],
                      [0, cos(theta), -sin(theta), 0],
                      [0, 0, 1, 0],
                      [0, sin(theta), 0, cos(theta)]]
        rotationYZ = [[1, 0, 0, 0],
                      [0, cos(theta), -sin(theta), 0],
                      [0, sin(theta), cos(theta), 0],
                      [0, 0, 0, 1]]
        
        v = matmul(rotationXY, v)
        v = matmul(rotationZW, v)
        
        # 投影
        w = 100 / (200 - v[3])
        projection = [[w, 0, 0, 0],  
                      [0, w, 0, 0],
                      [0, 0, w, 0]]
        
        v = matmul(projection, v)
        projected3d.append(v)
        point(v[0], v[1], v[2])
                
                
    for i in range(4):
        connect(0, i, (i+1) % 4, projected3d)
        connect(0, i+4, ((i+1) % 4)+4, projected3d)
        connect(0, i, i+4, projected3d)
        
    for i in range(4):
        connect(8, i, (i+1) % 4, projected3d)
        connect(8, i+4, ((i+1) % 4)+4, projected3d)
        connect(8, i, i+4, projected3d)
    
    for i in range(8):
        connect(0, i, i+8, projected3d)

    theta += 0.03
    
# 连接点
def connect(offset, i, j, points):
    i, j = i + offset, j + offset
    stroke(255)
    strokeWeight(1)
    line(points[i][0], points[i][1], points[i][2],
         points[j][0], points[j][1], points[j][2])

# 矩阵乘法
def matmul(a, b):
    rowsA, colsA = len(a), len(a[0])
    res = []
    for i in range(rowsA):
        n = 0
        for j in range(colsA):
            n += a[i][j]*b[j]
        res.append(n)
    return res

3 拓展知识（图论）

  定义：$k-$维立方体或超方体$Q_k$是一个简单图，其顶点是分量取自$\{0,1\}$的所有$k-$元组，边是恰在一个位置上取不同值的$k$元组对。$Q_k$的一个$j-$维子立方体是同构与$Q_j$的$Q_k$的子图。

$Q_3$，上面讲的超立方体就是$Q_4$

$Q_k$中的邻接节点，则它们之间可以直接通信。用来命名顶点的$k$元组可以视作处理器的地址

$Q_k$中顶点的奇偶性是由该顶点的名字中包含的1的个数的奇偶性而决定的。$Q_k$中每条边有一个偶端点和一个奇端点。因此，偶顶点构成一个独立集，奇顶点也构成一个独立集，进而$Q_k$是一个二部图。

$k$元组的每个分量可以取两个值，所以$n(Q_k)=2^k$。对于一个顶点，确定其名字中的一个位置并将该位置的值修改成另一个值，就可以得到它的一个相邻顶点。于是，$Q_k$是$k-$正则的。由于含有$n$个顶点的$k-$正则图有$nk/2$条边，所以$e(Q_k)=k2^{k-1}$