文章目录
- 一、二叉树
- 1.1 为什么需要树结构
- 1.1.1 数组存储方式的分析
- 1.1.2 链式存储方式的分析
- 1.1.3 树存储方式的分析
- 1.2 树示意图
- 1.3 二叉树的概念
- 1.4 二叉树 - 遍历节点
- 1.5 二叉树 - 查找指定节点
- 1.6 二叉树 - 删除节点
- 二、顺序存储二叉树
- 2.1 顺序存储二叉树的概念
- 2.2 顺序存储二叉树遍历
- 三、线索化二叉树
- 3.1 先看一个问题
- 3.2 线索二叉树基本介绍
- 3.3 线索二叉树应用案例
- 3.4 遍历线索化二叉树
一、二叉树
1.1 为什么需要树结构
1.1.1 数组存储方式的分析
优点: 通过下标方式访问元素, 速度快。对于有序数组, 还可使用二分查找提高检索速度。
缺点: 如果要检索具体某个值, 或者揷入值(按一定顺序)会整体移动, 效率较低
画出操作示意图:
1.1.2 链式存储方式的分析
优点: 在一定程度上对数组存储方式有优化(比如: 揷入一个数值节点, 只需要将揷入节点, 链接到链表中即可, 删除效率也很好)。
缺点: 在进行检索时, 效率仍然较低, 比如(检索某个值, 需要从头节点开始遍历)
画出操作示意图:
1.1.3 树存储方式的分析
优点：能提高数据存储, 读取的效率, 比如利用 二叉排序树(Binary Sort Tree), 既可以保证数据的检索速度, 同时也 可以保证数据的揷入, 删除, 修改的速度。
案例:
1.2 树示意图
树的常用术语(结合示意图理解):
1）节点
2）根节点
3）父节点
4）子节点
5）叶子节点（没有子节点的节点)
6）节点的权(节点值)
7）路径(从 root 节点找到该节点的路线)
8）层
9）子权
10）树的高度(最大层数)
11）森林:多颗子树构成森林
1.3 二叉树的概念
树有很多种，每个节点最多只能有两个子节点的一种形式称为二叉树
二叉树的子节点分为左节点和右节点
如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层，并且结点总数为 ，
为层数，则我们称其为满二叉树
如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层或者倒数第二层，而且最后一层的叶子节点在左边连续，倒数第二层的叶子节点在右边连续，我们称为完全二叉树
1.4 二叉树 - 遍历节点
前序遍历：先输出当前节点，再遍历左子树和右子树
中序遍历：先遍历左子树，再输出当前节点，再遍历右子树
后序遍历：先遍历左子树和右子树，最后输出当前节点
public class BinaryTreeErgodic {
public static void main(String[] args) {
// 先需要创建一颗二叉树
BinaryTreeNode root = new BinaryTreeNode(1);
BinaryTreeNode node2 = new BinaryTreeNode(2);
BinaryTreeNode node3 = new BinaryTreeNode(3);
BinaryTreeNode node4 = new BinaryTreeNode(4);
BinaryTreeNode node5 = new BinaryTreeNode(5);
// 说明，我们先手动创建该二叉树，后面我们学习递归的方式创建二叉树
root.left = node2;
root.right = node3;
node3.right = node4;
node3.left = node5;
// 测试前中后序遍历
System.out.println("前序遍历");
root.preOrderErgodic();
System.out.println("中序遍历");
root.infixOrderErgodic();
System.out.println("后序遍历");
root.postOrderErgodic();
}
static class BinaryTreeNode {
int value;
BinaryTreeNode left;
BinaryTreeNode right;
public BinaryTreeNode(int value) {
this.value = value;
}
// 前序遍历：先输出当前节点，再遍历左子树和右子树
public void preOrderErgodic() {
System.out.println(value);
if (left != null) {
left.preOrderErgodic();
}
if (right != null) {
right.preOrderErgodic();
}
}
// 中序遍历：先遍历左子树，再输出当前节点，再遍历右子树
public void infixOrderErgodic() {
if (left != null) {
left.infixOrderErgodic();
}
System.out.println(value);
if (right != null) {
right.infixOrderErgodic();
}
}
// 后序遍历：先遍历左子树和右子树，最后输出当前节点
public void postOrderErgodic() {
if (left != null) {
left.postOrderErgodic();
}
if (right != null) {
right.postOrderErgodic();
}
System.out.println(value);
}
}
}输出：
前序遍历
1
2
3
5
4
中序遍历
2
1
5
3
4
后序遍历
2
5
4
3
11.5 二叉树 - 查找指定节点
public class BinaryTreeSearch {
public static void main(String[] args) {
// 先需要创建一颗二叉树
BinaryTreeNode root = new BinaryTreeNode(1);
BinaryTreeNode node2 = new BinaryTreeNode(2);
BinaryTreeNode node3 = new BinaryTreeNode(3);
BinaryTreeNode node4 = new BinaryTreeNode(4);
BinaryTreeNode node5 = new BinaryTreeNode(5);
// 说明，我们先手动创建该二叉树，后面我们学习递归的方式创建二叉树
root.left = node2;
root.right = node3;
node3.right = node4;
node3.left = node5;
// 测试前中后序遍历
System.out.println("前序遍历查找");
System.out.println(root.preOrderSearch(5));
System.out.println("中序遍历查找");
System.out.println(root.infixOrderSearch(5));
System.out.println("后序遍历查找");
System.out.println(root.postOrderSearch(5));
}
static class BinaryTreeNode {
int value;
BinaryTreeNode left;
BinaryTreeNode right;
public BinaryTreeNode(int value) {
this.value = value;
}
// 前序遍历：先输出当前节点，再遍历左子树和右子树
public BinaryTreeNode preOrderSearch(int num) {
if (value == num) {
return this;
}
if (left != null) {
BinaryTreeNode node = left.preOrderSearch(num);
if (node != null) {
return node;
}
}
if (right != null) {
return right.preOrderSearch(num);
}
return null;
}
// 中序遍历：先遍历左子树，再输出当前节点，再遍历右子树
public BinaryTreeNode infixOrderSearch(int num) {
if (left != null) {
BinaryTreeNode node = left.infixOrderSearch(num);
if (node != null) {
return node;
}
}
if (value == num) {
return this;
}
if (right != null) {
return right.infixOrderSearch(num);
}
return null;
}
// 后序遍历：先遍历左子树和右子树，最后输出当前节点
public BinaryTreeNode postOrderSearch(int num) {
if (left != null) {
BinaryTreeNode node = left.postOrderSearch(num);
if (node != null) {
return node;
}
}
if (right != null) {
return right.postOrderSearch(num);
}
if (value == num) {
return this;
}
return null;
}
@Override
public String toString() {
return "BinaryTreeNode{" +
"value=" + value +
'}';
}
}
}输出：
前序遍历查找
BinaryTreeNode{value=5}
中序遍历查找
BinaryTreeNode{value=5}
后序遍历查找
BinaryTreeNode{value=5}1.6 二叉树 - 删除节点
public class BinaryTreeRemove {
public static void main(String[] args) {
// 先需要创建一颗二叉树
BinaryTreeNode root = new BinaryTreeNode(1);
BinaryTreeNode node2 = new BinaryTreeNode(2);
BinaryTreeNode node3 = new BinaryTreeNode(3);
BinaryTreeNode node4 = new BinaryTreeNode(4);
BinaryTreeNode node5 = new BinaryTreeNode(5);
// 说明，我们先手动创建该二叉树，后面我们学习递归的方式创建二叉树
root.left = node2;
root.right = node3;
node3.right = node4;
node3.left = node5;
// 测试前中后序遍历
System.out.println("删除节点");
root = BinaryTreeNode.removeNode(root, 5);
if (root == null) {
System.out.println("root = null");
} else {
root.preOrderErgodic();
}
}
static class BinaryTreeNode {
int value;
BinaryTreeNode left;
BinaryTreeNode right;
public BinaryTreeNode(int value) {
this.value = value;
}
// 前序遍历：先输出当前节点，再遍历左子树和右子树
public static BinaryTreeNode removeNode(BinaryTreeNode node, int num) {
if (node.value == num) {
return null;
}
node.removeNode(num);
return node;
}
private void removeNode(int num) {
// 1. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
if (this.left != null && this.left.value == num) {
this.left = null;
return;
}
// 2.如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
if (this.right != null && this.right.value == num) {
this.right = null;
return;
}
// 3.我们就需要向左子树进行递归删除
if (this.left != null) {
this.left.removeNode(num);
}
// 4.则应当向右子树进行递归删除
if (this.right != null) {
this.right.removeNode(num);
}
}
// 前序遍历：先输出当前节点，再遍历左子树和右子树
public void preOrderErgodic() {
System.out.println(value);
if (left != null) {
left.preOrderErgodic();
}
if (right != null) {
right.preOrderErgodic();
}
}
@Override
public String toString() {
return "BinaryTreeNode{" +
"value=" + value +
'}';
}
}
}输出：
删除节点
1
2
3
4二、顺序存储二叉树
2.1 顺序存储二叉树的概念
从数据存储来看, 数组存储方式和树的存储方式可以相互转换, 即数组可以转换成树, 树也可以转换成数组, 看下面的示意图。
2.2 顺序存储二叉树遍历
public class ArrayBinaryTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
//创建一个 ArrBinaryTree
ArrayBinaryTree arrayBinaryTree = new ArrayBinaryTree(arr);
System.out.println("前序遍历");
arrayBinaryTree.preOrder(); // 1,2,4,5,3,6,7
}
// 编写一个ArrayBinaryTree, 实现顺序存储二叉树遍历
static class ArrayBinaryTree {
private int[] arr;//存储数据结点的数组
public ArrayBinaryTree(int[] arr) {
this.arr = arr;
}
//重载preOrder
public void preOrder() {
this.preOrder(0);
}
//编写一个方法，完成顺序存储二叉树的前序遍历
/**
* @param index 数组的下标
*/
public void preOrder(int index) {
//如果数组为空，或者 arr.length = 0
if (arr == null || arr.length == 0) {
System.out.println("数组为空，不能按照二叉树的前序遍历");
}
//输出当前这个元素
System.out.println(arr[index]);
//向左递归遍历
if ((index * 2 + 1) < arr.length) {
preOrder(2 * index + 1);
}
//向右递归遍历
if ((index * 2 + 2) < arr.length) {
preOrder(2 * index + 2);
}
}
}
}三、线索化二叉树
3.1 先看一个问题
问题分析：
- 当我们对上面的二叉树进行中序遍历时，数列为：[8，3，10，1，6，14]
- 但是 6，8，10，14 这几个节点的左右指针，并没有完全的利用上
- 如果我们希望充分利用各个节点的左右指针，让各个节点可以指向自己的前后节点怎么办？
- 解决方案就是：线索二叉树
3.2 线索二叉树基本介绍
3.3 线索二叉树应用案例
3.4 遍历线索化二叉树
说明：对前面的中序线索化二叉树，进行遍历
分析：因为线索化后，各个节点指向有变化，因此原来的遍历方式不能使用，这是需要使用新的方式遍历线索化二叉树，各个节点可以通过线型方式遍历，因此无需使用递归方式，这样也提高了遍历的效率。遍历的次序应当和中序遍历保持一致。
public class ThreadedBinaryTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
// 测试一把中序线索二叉树的功能
HeroNode root = new HeroNode(1, "tom");
HeroNode node2 = new HeroNode(3, "jack");
HeroNode node3 = new HeroNode(6, "smith");
HeroNode node4 = new HeroNode(8, "mary");
HeroNode node5 = new HeroNode(10, "king");
HeroNode node6 = new HeroNode(14, "dim");
// 二叉树，后面我们要递归创建, 现在简单处理使用手动创建
root.setLeft(node2);
root.setRight(node3);
node2.setLeft(node4);
node2.setRight(node5);
node3.setLeft(node6);
// 测试中序线索化
ThreadedBinaryTree threadedBinaryTree = new ThreadedBinaryTree();
threadedBinaryTree.setRoot(root);
threadedBinaryTree.threadedNodes();
// 测试: 以10号节点测试
HeroNode leftNode = node5.getLeft();
HeroNode rightNode = node5.getRight();
System.out.println("10号结点的前驱结点是 =" + leftNode); //3
System.out.println("10号结点的后继结点是=" + rightNode); //1
// 当线索化二叉树后，能在使用原来的遍历方法
// threadedBinaryTree.infixOrder();
System.out.println("使用线索化的方式遍历 线索化二叉树");
threadedBinaryTree.threadedList(); // 8, 3, 10, 1, 14, 6
}
// 定义ThreadedBinaryTree 实现了线索化功能的二叉树
static class ThreadedBinaryTree {
private HeroNode root;
// 为了实现线索化，需要创建要给指向当前结点的前驱结点的指针
// 在递归进行线索化时，pre 总是保留前一个结点
private HeroNode pre = null;
public void setRoot(HeroNode root) {
this.root = root;
}
// 重载一把threadedNodes方法
public void threadedNodes() {
this.threadedNodes(root);
}
// 遍历线索化二叉树的方法
public void threadedList() {
// 定义一个变量，存储当前遍历的结点，从root开始
HeroNode node = root;
while (node != null) {
// 循环的找到leftType == 1的结点，第一个找到就是8结点
// 后面随着遍历而变化,因为当leftType==1时，说明该结点是按照线索化
// 处理后的有效结点
while (node.getLeftType() == 0) {
node = node.getLeft();
}
// 打印当前这个结点
System.out.println(node);
// 如果当前结点的右指针指向的是后继结点,就一直输出
while (node.getRightType() == 1) {
// 获取到当前结点的后继结点
node = node.getRight();
System.out.println(node);
}
// 替换这个遍历的结点
node = node.getRight();
}
}
// 编写对二叉树进行中序线索化的方法
/**
* @param node 就是当前需要线索化的结点
*/
public void threadedNodes(HeroNode node) {
// 如果node==null, 不能线索化
if (node == null) {
return;
}
// (一)先线索化左子树
threadedNodes(node.getLeft());
// (二)线索化当前结点[有难度]
// 处理当前结点的前驱结点
// 以8结点来理解
// 8结点的.left = null , 8结点的.leftType = 1
if (node.getLeft() == null) {
// 让当前结点的左指针指向前驱结点
node.setLeft(pre);
// 修改当前结点的左指针的类型,指向前驱结点
node.setLeftType(1);
}
// 处理后继结点
if (pre != null && pre.getRight() == null) {
// 让前驱结点的右指针指向当前结点
pre.setRight(node);
// 修改前驱结点的右指针类型
pre.setRightType(1);
}
// 每处理一个结点后，让当前结点是下一个结点的前驱结点
pre = node;
// (三)在线索化右子树
threadedNodes(node.getRight());
}
// 删除结点
public void delNode(int no) {
if (root != null) {
// 如果只有一个root结点, 这里立即判断root是不是就是要删除结点
if (root.getNo() == no) {
root = null;
} else {
// 递归删除
root.delNode(no);
}
} else {
System.out.println("空树，不能删除~");
}
}
// 前序遍历
public void preOrder() {
if (this.root != null) {
this.root.preOrder();
} else {
System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
}
}
// 中序遍历
public void infixOrder() {
if (this.root != null) {
this.root.infixOrder();
} else {
System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
}
}
// 后序遍历
public void postOrder() {
if (this.root != null) {
this.root.postOrder();
} else {
System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
}
}
// 前序遍历
public HeroNode preOrderSearch(int no) {
if (root != null) {
return root.preOrderSearch(no);
} else {
return null;
}
}
// 中序遍历
public HeroNode infixOrderSearch(int no) {
if (root != null) {
return root.infixOrderSearch(no);
} else {
return null;
}
}
// 后序遍历
public HeroNode postOrderSearch(int no) {
if (root != null) {
return this.root.postOrderSearch(no);
} else {
return null;
}
}
}
// 先创建HeroNode 结点
static class HeroNode {
private int no;
private String name;
private HeroNode left; // 默认null
private HeroNode right; // 默认null
// 说明
// 1. 如果leftType == 0 表示指向的是左子树, 如果 1 则表示指向前驱结点
// 2. 如果rightType == 0 表示指向是右子树, 如果 1表示指向后继结点
private int leftType;
private int rightType;
public int getLeftType() {
return leftType;
}
public void setLeftType(int leftType) {
this.leftType = leftType;
}
public int getRightType() {
return rightType;
}
public void setRightType(int rightType) {
this.rightType = rightType;
}
public HeroNode(int no, String name) {
this.no = no;
this.name = name;
}
public int getNo() {
return no;
}
public void setNo(int no) {
this.no = no;
}
public String getName() {
return name;
}
public void setName(String name) {
this.name = name;
}
public HeroNode getLeft() {
return left;
}
public void setLeft(HeroNode left) {
this.left = left;
}
public HeroNode getRight() {
return right;
}
public void setRight(HeroNode right) {
this.right = right;
}
@Override
public String toString() {
return "HeroNode [no=" + no + ", name=" + name + "]";
}
// 递归删除结点
// 1.如果删除的节点是叶子节点，则删除该节点
// 2.如果删除的节点是非叶子节点，则删除该子树
public void delNode(int no) {
//思路
/*
* 1. 因为我们的二叉树是单向的，所以我们是判断当前结点的子结点是否需要删除结点，而不能去判断当前这个结点是不是需要删除结点.
2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
3. 如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
4. 如果第2和第3步没有删除结点，那么我们就需要向左子树进行递归删除
5. 如果第4步也没有删除结点，则应当向右子树进行递归删除.
*/
// 2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
if (this.left != null && this.left.no == no) {
this.left = null;
return;
}
// 3.如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
if (this.right != null && this.right.no == no) {
this.right = null;
return;
}
// 4.我们就需要向左子树进行递归删除
if (this.left != null) {
this.left.delNode(no);
}
// 5.则应当向右子树进行递归删除
if (this.right != null) {
this.right.delNode(no);
}
}
// 编写前序遍历的方法
public void preOrder() {
System.out.println(this); // 先输出父结点
// 递归向左子树前序遍历
if (this.left != null) {
this.left.preOrder();
}
// 递归向右子树前序遍历
if (this.right != null) {
this.right.preOrder();
}
}
// 中序遍历
public void infixOrder() {
// 递归向左子树中序遍历
if (this.left != null) {
this.left.infixOrder();
}
// 输出父结点
System.out.println(this);
// 递归向右子树中序遍历
if (this.right != null) {
this.right.infixOrder();
}
}
// 后序遍历
public void postOrder() {
if (this.left != null) {
this.left.postOrder();
}
if (this.right != null) {
this.right.postOrder();
}
System.out.println(this);
}
// 前序遍历查找
/**
* @param no 查找no
* @return 如果找到就返回该Node ,如果没有找到返回 null
*/
public HeroNode preOrderSearch(int no) {
System.out.println("进入前序遍历");
// 比较当前结点是不是
if (this.no == no) {
return this;
}
// 1.则判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归前序查找
// 2.如果左递归前序查找，找到结点，则返回
HeroNode resNode = null;
if (this.left != null) {
resNode = this.left.preOrderSearch(no);
}
if (resNode != null) { // 说明我们左子树找到
return resNode;
}
// 1.左递归前序查找，找到结点，则返回，否继续判断，
// 2.当前的结点的右子节点是否为空，如果不空，则继续向右递归前序查找
if (this.right != null) {
resNode = this.right.preOrderSearch(no);
}
return resNode;
}
// 中序遍历查找
public HeroNode infixOrderSearch(int no) {
// 判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归中序查找
HeroNode resNode = null;
if (this.left != null) {
resNode = this.left.infixOrderSearch(no);
}
if (resNode != null) {
return resNode;
}
System.out.println("进入中序查找");
// 如果找到，则返回，如果没有找到，就和当前结点比较，如果是则返回当前结点
if (this.no == no) {
return this;
}
// 否则继续进行右递归的中序查找
if (this.right != null) {
resNode = this.right.infixOrderSearch(no);
}
return resNode;
}
// 后序遍历查找
public HeroNode postOrderSearch(int no) {
// 判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归后序查找
HeroNode resNode = null;
if (this.left != null) {
resNode = this.left.postOrderSearch(no);
}
if (resNode != null) { // 说明在左子树找到
return resNode;
}
// 如果左子树没有找到，则向右子树递归进行后序遍历查找
if (this.right != null) {
resNode = this.right.postOrderSearch(no);
}
if (resNode != null) {
return resNode;
}
System.out.println("进入后序查找");
// 如果左右子树都没有找到，就比较当前结点是不是
if (this.no == no) {
return this;
}
return resNode;
}
}
}输出：
10号结点的前驱结点是 =HeroNode [no=3, name=jack]
10号结点的后继结点是=HeroNode [no=1, name=tom]
使用线索化的方式遍历 线索化二叉树
HeroNode [no=8, name=mary]
HeroNode [no=3, name=jack]
HeroNode [no=10, name=king]
HeroNode [no=1, name=tom]
HeroNode [no=14, name=dim]
HeroNode [no=6, name=smith]
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