数据结构与算法Python语言描述pdf 数据结构与算法python版

数据结构与算法 Python

1. 求解问题的计算之道

自古以来人类在各个方面都会遇到许多未知的事物。比如螃蟹能不能吃，什么是无理数，为什么云不会掉下来，怎样实现公平正义。* 总而言之，**这些问题都可以归纳为what,why,how的问题。**在这些问题中，有些我们已经解决，有些还未解决，有些无法解决。
为了解决这些问题，我们也运用了很多手段和方法。比如直观感觉，占卜，计算，模拟仿真…等等。最终我们发现，利用数学方法解决问题是非常准确高效的。因为数学本身符号表达准确严谨，并且推理系统非常严密。虽然数学不是万能的，但它仍是我们最好的工具之一。于是大数学家希尔博特提出了一个问题:能否找到一种基于有穷观点的能行方法，来判定任何一个数学命题的真假。之后研究证明，希尔伯特的计划最终被证明无法实现，但“能行可计算”概念成为计算理论的基础。由此诞生了用以计算的“图灵计算模型”，它可以将人们使用纸笔进行数学运算的过程进行抽象，由一个虚拟的机器代替人类进行数学运算。

2. 图灵计算模型 Turing Machine

图灵机有以下三个部分组成：

1. 无限长的纸带。纸带可以类比传统计算机的内存（Memory）。纸带上有一个个小方格子，格子里可以写入一些symbols。
2. 读写头。它可以做到以下三种操作

1. 从一个小方格中读出symbol。
2. 清除一个小方格中的内容，或直接写入新的symbol来覆盖原有的数据
3. 向其他方格移动

3. 控制器。可以根据program中制定的规则决定读写头的具体操作

因此在任意的program中，图灵机都会有五个部分组成一条控制规则。

1. 当前状态
2. 当前读入的symbol
3. 将当前格子改为什么symbol
4. 如何移动读写头
5. 改变为什么状态

3. 算法和计算复杂性

问题的分类：

1. What：是什么（面向判断和分类问题）
2. Why：为什么（面向求因和证明问题）
3. How：怎么做（面向过程与构建问题）

这些问题中，有些我们可以解决，有些不能解决。在能解决的问题中，有些可以用计算解决，有些不能。

用任何“有限能行方法”能解决的问题，都是“可计算的”。

• 在What（分类问题）中，可以通过树状的判定分支解决。从根节点向下进行判断。
• 在Why（证明问题）中，可以通过有限的公式序列来解决。数学定理证明从不证自明的公理出发，一步步推理得出最后待证明的定理。
• 在How（过程问题）中，可以通过算法流程解决。算法与数据结构主要研究的内容。

3.1 计算复杂性

基于有穷观点的能行方法的“可计算”概念，仅仅涉及到问题的解决是否能在有限的资源内完成，但并不关心具体要花费多少计算步骤或多少储存空间。而计算复杂性研究问题的本质将各种问题按照难易程度分类，并不关心问题的具体解决方案。

3.2 算法分析

占用计算资源的大小是算法好坏的主要评判标准。计算资源分为计算时间和计算空间

• 算法所消耗的时间通常用时间复杂度来描述
• 算法所消耗的空间通常用空间复杂度来描述

随着硬件技术的不断发展，一般算法的主要限制条件还是算法的计算时间。因此我们通常主要考虑算法的时间复杂度。

我们通过**“大O符号表示法**来表示时间复杂度：
$T(n)=O(f(n))$

其中$f(n)$表示每行代码执行次数之和（假设每行代码的运行时间大致相等，这样$T(n)$就可以表现算法的运行时间）。例如：

for i in range(0,n)
	a += 1 
	a += i

这段代码第一行执行一次，第二三行分别执行n次，那么这个算法的时间复杂度为$T(n)=O(2n+1)$。如果这个例子中的$n$无限大的话，那么公式中的常数1和倍数2并没有太大意义。因此，在大O符号表示法中，我们可以忽略这些不重要的东西。则$T(n)=O(n)$。

常见的时间复杂度量级有：

• 常数阶$O(1)$
• 对数阶$O(log^n)$
• 线性阶$O(n)$
• 线性对数阶$O(nlog^n)$
• 平方阶$O(n^2)$
• 立方阶$O(n^3)$
• K次方阶$O(n^k)$
• 指数阶$O(2^n)$

在我们实际检测算法运行时间时，Python可以用time模块检测运行时间。例如：

import time % 导入time模块

start = time.time() % 记录开始时间

你的算法。。。

end = time,time() % 记录结束时间
print(end- start) % 输出所用时间，单位为秒