实验4-采样率变换Sample Rate Change
- 前言
- 一、为什么要进行采样率转换
- 二、Interpolation插值-升采样
- 【Interpolation FIR Filter】
- 步骤1：插值-升采样
- 步骤2：低通滤波
- 三、Decimation抽值降采样
- 【Decimating FIR Filter】
- 步骤1：低通滤波
- 步骤2：抽值-降采样
- 四、Rational Resampler有理数因子/分数重采样
- 【Rational Resampler】
- 步骤1：插值-升采样
- 步骤2：低通滤波
- 步骤3：抽值-降采样
前言
采样率转换，包括升采样和降采样，通常使用插值和抽值实现。
Interpolating FIR Filter插值FIR滤波器、Decimating FIR Filter抽值FIR滤波器以及Rational Resampler分数重采样模块是GNU Radio采样率转换的基础性工具，GNU Radio官方在wiki百科Sample Rate Change章节对这3款滤波器的使用方法进行了实验演示。
鉴于原文为英语，且部分插图和叙述可能存在矛盾，博主谨对官方实验进行了复现，在摘录、翻译部分原文的基础上，对GNU Radio采样率转换问题进行展开探讨。
因本人并非通信行业或电子设计出身，本文未能对滤波器专业知识做深入讨论，仅仅在具体操作层面给出通俗讲解，借以抛砖引玉，恳请走过路过的大佬批评指正、不吝赐教。
期待能够为GNU Radio中文社区增添一份贡献！
一、为什么要进行采样率转换
举个栗子。下图是我们搭建的一个简易的仿真AM电台，作用是在200kHz频点上广播邓紫棋的《泡沫》。
首先查看这个wav文件占用多大带宽：如下图所示，因原始信号的采样率为48kHz，所以我们使用采样率为48kHz的【QT GUI Frequency Sink】示波器，可以看到，原始信号的用频集中在10kHz(请记住这个数字) 以内，可以简单理解为在这首歌曲里所有乐器和歌手的最高音调为10kHz。
为了能够在200kHz频点上发送出去信号，我们使用【Signal Source】信号发生器产生200kHz的余弦波信号作为载波，根据奈奎斯特采样定律，【Signal Source】的采样率应当至少设置为400kHz（大于最高用频的2倍以上），否则将发生混叠，我们将之设为480kHz。
但这样一来，负责生成载波的【Signal Source】模块、负责生成待传输信号（基带信号）的【Wav File Source】模块，两者的采样率分别为480kHz、48kHz，差了10倍。如果你这时候找个收音机来听，会发现歌曲唱得极其得快，这是因为我们的AM电台会以480kHz的采样率，也就是10倍于原始wav文件的正常数据流速对其进行采样，然后调制到载波上面。
如下图所示，从时域角度看，语速将提高10倍；而从频域角度来看，最终生成的已调信号的频谱原本应当以200kHz为中心、左右各占10kHz的带宽，但现在变成了以200kHz为中心、左右各占100kHz的带宽，发生了严重的展宽，原始信息被破坏。例如原本歌手唱了歌la（该音调对应的频率假设为500Hz），结果硬生生给告了八度（可能变成了89kHz）。
这样的情况，在我们使用GNU Radio仿真通信系统时会经常遇到。因此我们需要进行采样率转换，使我们设计的通信系统采样率前后匹配。
采样率转换，包括升采样和降采样，通常使用插值和抽值实现。在GNU Radio中常用Interpolating FIR Filter插值FIR滤波器、Decimating FIR Filter抽值FIR滤波器以及Rational Resampler分数重采样模块实现。
为便于开展研究，我们搭建一个适用于这3个模块专用的实验系统，如下图所示。流图左半部分为信号源，支持使用单音或者wav波形文件，【Selector】模块用于切换信号源。绿色区用于实验【Interpolating FIR Filter】模块，蓝色区用于实验【Decimating FIR Filter】模块，橙色区用于实验【Rational Resampler】模块。（这瞅着不比官网那个流图工整得多？）
二、Interpolation插值-升采样
所谓插值，就是在原有采样点集之中，人为地增加一些数据，可以提高采样率、增加可用带宽，解决系统各元件之间采样率不匹配的问题。
（图片来源见水印）不同的滤波器，插值的算法也有所不同。GNU Radio里的【Interpolation FIR Filter】模块所用插值算法如下。GNU Radio wiki百科 Interpolation FIR Filter
具体来看Interpolation插值区。使用【Signal Source】模块以48kHz采样率生成1个余弦波，频率选择范围在生成[0kHz,24kHz]之间可调（Input Index=Output Index=0），或使用【Wav File Source】模块加载本地的《泡沫-邓紫棋.wav》音频文件（Input Index=1，Output Index=0），该文件固有采样率为48kHz，用频范围为[0kHz,10kHz]。
随后信号源生成的信号流入【Interpolation FIR Filter】模块，完成插值升采样后由【Low-pass Filter Taps】模块低通滤波器滤除24kHz以上的信号。
最后分别由采样率设置为480kHz的【Audio Sink】播放器模块和【QT GUI Frequency Sink】示波器模块播放或输出信号。
下面具体来看【Interpolation FIR Filter】模块的用法。
【Interpolation FIR Filter】
这个模块实际上含有两部分步骤：
插值FIR滤波器：升采样
低通滤波器：滤除因插值升采样产生的高频镜像信号
Type：输入输出的数据类型，包括Complex转Complex、Float转Complex、Float转Short、Short转Complex。
Interpolation：插值数。在两个信号点之间插入Interpolation个0值，则采样率将将扩展到samp_rate*Interpolation倍。若输入信号为48kHz采样率，interpolation为10，则输出信号的新采样率就是480kHz。
Taps：建立一个【Low-pass Filter Tap】低通滤波器，将其ID名填入此处，即可使【Interpolation FIR Filter】模块装载了低通滤波的功能，这要比使用【Interpolation FIR Filter】+【Low-pass
Filter】的组合方便得多。
Sample Delay：添加延迟。
步骤1：插值-升采样
按照下图的参数设定，当信号流入【Interpolation FIR Filter】模块后，首先在每两个采样点之间新增10个新的点，采样率由48kHz翻倍到480kHz。
如下图所示，原本在48kHz采样率下生成的8kHz余弦波，采样率翻倍到480kHz后其频率仍为8kHz；《泡沫-邓紫棋.wav》文件的用频范围在插值后仍然在[0kHz,10kHz]之间，原始信息均未被破坏（歌曲原来什么音调，插值后基本不变）。
而假如没有进行插值，直接使用480kHz的【QT GUI Frequency Sink】示波器去读取原始信号，原信号的频率会按照原采样率/示波器采样率的比值翻倍。如下图所示，在32kHz采样率下生成的2kHz信号，在采样率分别为64kHz、32kHz、16kHz的示波器中，分别显示频率为4kHz、2kHz、1kHz。（关于采样率问题可阅读实验3-关于GNU Radio和HackRF的采样率问题）
步骤2：低通滤波
所谓低通滤波，就是截断一部分频谱，只允许指定频率范围的信号通过。如下面所示，拖动滑块使截止频率在0-16kHz移动，大于截止频率的信号统统被滤除。
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完成插值后，信号将进入【Low-pass Filter Taps】低通滤波器模块。
为什么要进行低通滤波？
如下图所示，输入1个频点为20kHz的余弦波，在经过插值升采样后，我们发现在频谱上多出了一些信号，它们分别以24kHz、72kHz、120kHz、168kHz、216kHz为中心（原采样率的1半，即samp_rate_interpolation/(interpolation*2)=480kHz/20=24kHz，分别乘以1、3、5、7、9）。这些副产品因为插值操作而产生的，破坏了原有频谱的纯净，我们只需要那个20kHz余弦波信号，因此，所有大于24kHz的信号需要被滤除。
因此，我们需要使用到【Low-pass Filter Taps】低通滤波器模块，如下图所示。
ID：该滤波器的代号，并将ID填到【Interpolation FIR Filter】模块的Taps参数中，可以使其装载低通滤波器功能。
Sample Rate(Hz)：输出信号的采样率。信号流入【Low-pass Filter Taps】低通滤波器模块时，已经完成了插值-升采样，为正确处理这个信号，必须采用samp_rateinterpolation=48kHz10=480kHz。
Cutoff Freq(Hz)：截止频率。即允许通过的最高频点。设置为24kHz，代表以[0,24kHz]区间内的信号可以通过。插值后需要滤除的范围为samp_rate_interpolation/(interpolation2)=480kHz/(102)=24kHz。
Transition Width(Hz)：过渡带宽。在现实世界，滤波器很难做到完整、干净地对频谱进行切割，不是说截止频率设为24kHz，24.1kHz的信号就根本进不来了，多少会向外延展一点。过渡带宽就是用来设定延展有多宽。这个参数需要根据实际的设备进行微调，仿真时设为100Hz也没问题。
Window和Beta：使用的窗口类型。默认即可。
完成滤波后，超过截止频率24kHz的信号强度会被大幅削减，一般认为2个信号的幅度插值达到3dB（功率相差1000倍）即滤波成功。如下图所示。
三、Decimation抽值降采样
所谓抽值，就是对信号每隔decimation个点取一个点保留下来组成新的信号，采样率也将降低为samp_rate/decimation。
需要注意的是，根据奈奎斯特采样定律，当采样率降低，比如由48kHz降低为16kHz（抽值数为3，48kHz/3=16kHz)，那么如果原信号中大于16kHz/2=8kHz的成分，会被“折叠”到[0kHz,8kHz]，由高频变为低频，例如9kHz的信号会变成7kHz，原始信息遭到破坏，这个现象叫做混叠。
因此，为避免发生混叠，我们首先要进行低通滤波操作，将可能发生混叠的高频信号提前滤除，然后再进行抽值降采样。重点：与【Interpolation FIR Filter】不同的是，【Decimating_FIR_Filte】是先滤波再抽值
【Decimating FIR Filter】
这个模块实际上含有两部分功能：wiki官网Decimating_FIR_Filte低通/高通/带通滤波器：首先滤除原始信号的高频部分，避免混叠
抽值FIR滤波器：降采样
Type：输入输出的数据类型，包括Complex转Complex、Float转Complex、Float转Short、Short转Complex。
Decimation：抽取数。每Decimation个值保留1个，则采样率将将降低到samp_rate/Interpolation倍。若输入信号为48kHz采样率，decimation为3，则输出信号的新采样率就是16kHz。
Taps：建立一个【Low-pass Filter Tap】低通滤波器，将其ID名填入此处，即可使【Interpolation FIR Filter】模块装载了低通滤波的功能.
Sample Delay：添加延迟。
步骤1：低通滤波
选用【Low-pass Filter Taps】模块，对高频部分进行滤波。参数配置方法如下：
ID：命名，并将命名填到【Decimating FIR Filter】模块的Taps参数中，即代表挂载了这个低通滤波器。
Sample Rate(Hz)：输入信号的采样率！！！首先对原始信号进行滤波，然后再抽值降采样，因此应当设置为原始信号的采样率samp_rate=48kHz。
Cutoff Freq(Hz)：截止频率。允许通过的最高频点。为避免混叠，需要将原始信号里超出新采样率带宽范围的成分滤除掉，即samp_rate/(Decimation2)=48kHz/(32)=8kHz才能保证不失真。但是，从实践情况来看，例如当使用《泡沫-邓紫棋.wav》作为信号源时，如果截止频率10kHz，似乎声音会更“清亮”一些。应当如何设置滤波器参数，需要仁者见仁智者见智了。
Transition Width(Hz)：过渡带宽。在现实世界，滤波器很难做到完整、干净地对频谱进行切割，不是说截止频率设为24kHz，24.1kHz的信号就根本进不来了，多少会向外延展一点。过渡带宽就是用来设定延展有多宽。这个参数需要根据实际的设备进行微调，仿真时设为100Hz也没问题。
Window和Beta：使用的窗口类型。默认即可。
步骤2：抽值-降采样
滤波后进行抽值降采样，最终输出的信号采样率降低为原采样率samp_rate/Decimation=48kHz/3=16kHz。如下图所示，输入在48kHz采样率下生成的4kHz的余弦波信号，降低采样率后频点保持不变，成功的保留了原始信息。
四、Rational Resampler有理数因子/分数重采样
【Interpolating FIR Filter】和【Decimating FIR Filter】在进行重采样时只支持整数。如果输入信号采样率为48kHz，输出为120kHz，输出信号与输入信号的采样率比值为5:2，此时就需要要用到【Rational Resampler】有理数因子重采样模块/分数重采样模块，首先插值升采样Interpolation=5，再抽值降采样Decimation=2，实现120kHz采样率输出。搭建重采样实验系统如下图所示。
【Rational Resampler】
这个模块实际上含有三部分功能：GNU Radio wiki官网Rational Resampler插值FIR滤波器：升采样
低通/高通/带通滤波器：将升采样后的镜像信号滤除；再滤除原始信号的高频部分避免降采样混叠
抽值FIR滤波器：降采样
Type：输入输出的数据类型，包括Complex转Complex、Float转Complex、Float转Short、Short转Complex。
Interpolation：插值数。在两个信号点之间插入Interpolation个0值，则采样率将将扩展到samp_rate*Interpolation倍。若输入信号为48kHz采样率，interpolation为10，则输出信号的新采样率就是480kHz。
Decimation：抽取数。每Decimation个值保留1个，则采样率将将降低到samp_rate/Interpolation倍。若输入信号为48kHz采样率，decimation为3，则输出信号的新采样率就是16kHz。
最终采样率为samp_rate*interplation/decimation
Taps：建立一个【Low-pass Filter Tap】低通滤波器，将其ID名填入此处，即可使【Interpolation FIR Filter】模块装载了低通滤波的功能.
Sample Delay：添加延迟。
步骤1：插值-升采样
与【Interpolation FIR Filter】模块功能一致。详见上文。
步骤2：低通滤波
经过升采样后，信号流入低通滤波器。下面具体看参数设置。
Sample Rate（Hz）：升采样后的采样率！！！即samp_rateinterpolation=48kHz5=120kHz。【Rational Resampler】模块完成插值升采样步骤后，信号流入【Low-pass Filter Taps】滤波。如下图所示，48kHz升采样后变为240kHz，若改为最终输出采样率samp_rateinterpolation/decimation=48kHz5/2=120kHz的话，当Cutoff Frequency设为10kHz，实际滤波范围却变成了[0,20kHz]，被扩大了一倍。
Cutoff Frequency（Hz）：根据官方示例（Sample Rate Change），截止频率应当设置为samp_rate/(interpolation2)和samp_rate/(decimation2)的最小值。博主认为这一说法值得商榷，应当改为在samp_rate_interpolation/(interpolation2)和samp_rate_interpolation/(decimation2)之间取最小值。其中，samp_rate_interpolation=samp_rate*interpolation。
这很好理解。前文中说，插值后将出现镜像频率。按照插值处理的滤波原则，截止频率设置为samp_rate_interpolation/(interpolation2)=240kHz/(510)=24kHz。
随后，考虑到接下来要进行的降采样。已知经过【Rational Resampler】重采样后，系统的最终采样率为samp_rateinterpolation/decimatinotallow=48kHz5/2=120kHz。根据奈奎斯特采样定理，如果原信号存在60kHz以上的成分，将会被折叠进[0kHz,60kHz]，例如65kHz会变成55kHz。为了将这些可能造成混叠干扰的成分滤除，Cutoff Frequency截止频率应设置为samp_rateinterpolation/(decimation2)=60kHz。
升采样要求截止频率小于24kHz，降采样要求截止频率小于60kHz。综合来看，截止频率最终应当设置为24kHz，即min(samp_rate_interpolation/(interpolation2),samp_rate_interpolation/(decimation2))
步骤3：抽值-降采样
与【Decimation FIR Filter】模块功能一致。详见上文。
