用格里高斯公式求的近似值python 高斯公式与格林公式

文章目录

• 一、格林公式
• 二、平面线积分与路径无关的条件+无旋场、保守场、有势场
• 三、高斯公式+散度
• 四、斯托克斯公式+旋度
• 五、重要的特殊向量场

• 1. 无旋场（基于斯托克斯公式）
• 2. 无源场（基于高斯公式）
• 3. 调和场

一、格林公式

定理1（格林公式） 设平面有界闭区域$(\sigma)$由一条分段光滑的简单闭曲线所围成，$(\sigma)$的边界曲线记为$(C)$，函数$P,Q\in C^{(1)}((\sigma))$，则$\iint\limits_{(\sigma)}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\text d\sigma=\oint_{(+C)}P(x,y)\text dx+Q(x,y)\text dy$其中$(+C)$表示$(C)$为正向（一般指逆时针）。

二、平面线积分与路径无关的条件+无旋场、保守场、有势场

定理2 设区域$(\sigma)\subseteq \mathbb R^2$，$P,Q\in C((\sigma))$，$A,B\in(\sigma)$，则下列三个命题等价：
(1) 沿$(\sigma)$内任一分段光滑的简单闭曲线$C$，均有$\oint_{(+C)}P\text dx+Q\text dy=0$成立；
(2) 线积分$\int_{(A)}^{(B)}P\text dx+Q\text dy$的值在$(\sigma)$内与积分路径无关；
(3) 被积表达式$P\text dx+Q\text dy$在$(\sigma)$内是某个二元函数$u(x,y)$的全微分。

环量：对于向量场$\bm A(M)=P\bm i+Q\bm j$，称沿闭曲线$(C)$的第二型线积分$\oint_{(C)}\bm A(M)\cdot\bold d\bm s$为向量场$\bm A$沿闭曲线$(C)$的环量。

无旋场：沿$(\sigma)$内任一分段光滑的简单闭曲线$C$线积分均为零，即环量均为零
保守场：线积分$\int_{(C)}\bm A(M)\cdot\bold d\bm s$的值与路径无关
有势场：存在$u(x,y)$使得$\text du=P\text dx+Q\text dy$

定理2表明：无旋场、保守场、有势场相互等价

定理3 设$(\sigma)$为一平面单连通域，$P,Q\in C^{(1)}((\sigma))$，则定理2中的三个命题成立的充要条件是$\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv\frac{\partial P}{\partial y},\quad(x,y)\in\sigma$即四个条件等价。

三、高斯公式+散度

定理4（高斯公式） 设空间有界闭区域$(V)$由分片光滑的闭曲面$(S)$所围成，$\bm A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\in C^{(1)}((V))$，则$\iiint\limits_{(V)}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\text dV=\oiint\limits_{(S)}P\text dy\text dz+Q\text dz\text dx+R\text dx\text dy$其中$(S)$的法向量朝外。

简写为：$\iiint\limits_{(V)}\nabla\cdot\bm A\text dV=\oiint\limits_{(S)}\bm A\cdot\bold d\bm S$通量：$\bm A(M)$对曲面$(S)$的第二型面积分$\iint\limits_{(S)}\bm A\cdot\bold d\bm S$的物理意义是向量场$\bm A(M)$对曲面$(S)$的通量
通量密度/散度：$\text{div}\ \bm A(M)=\lim\limits_{(\Delta V\to M)}\frac{\oiint\limits_{(S)}\bm A(M)\cdot\bold d\bm S}{\Delta V}=\nabla\cdot\bm A=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$

通量有关的计算公式：
(1) $\nabla\cdot(C\bm A)=C\nabla\cdot\bm A$
(2) $\nabla\cdot(\bm A\pm\bm B)=\nabla\cdot\bm A\pm\nabla\cdot\bm B$
(3) $\nabla\cdot u\bm A=u\nabla\cdot\bm A+\nabla u\cdot\bm A$

四、斯托克斯公式+旋度

定理5（斯托克斯公式） 设区域$(G)\subseteq\mathbb R^3$，$P,Q,R\in C^{(1)}((G))$，$(C)$为$(G)$内一条分段光滑的有向简单闭曲线，$(S)$是以$(C)$为边界且完全位于$(G)$的任一分片光滑的有向曲面，$(C)$的方向与$(S)$的法向量符合右手螺旋定则，则$\oint_{(C)}P\text dx+Q\text dy+R\text dz=\iint\limits_{(S)}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\text dy\text dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\text dz\text dx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\text dx\text dy$简写为：$\oint_{(C)}\bm A\cdot\bold d\bm s=\iint\limits_{(S)}(\nabla\times\bm A)\cdot\bold d\bm S$环量：空间向量场$\bm A$沿空间闭曲线$(C)$的线积分$\oint_{(C)}\bm A(x,y,z)\cdot\bold d\bm s$称为$\bm A(x,y,z)$沿闭曲线$(C)$的环量，它表示了$\bm A$绕$(C)$旋转趋势的大小。
环量密度：令$\bm A$沿微小曲面$(\Delta S)$的边界$(\Delta C)$的环量为$\Delta\Gamma$，$\bm n$为$(\Delta S)$的法向量，则定义$\bm A$在点$M$沿$\bm n$方向的环量密度为$\frac{\text d\Gamma}{\text dS}=\lim\limits_{(\Delta S)\to M}\frac{\oint_{(\Delta C)}\bm A\cdot\bold d\bm S}{\Delta S}$其中$(\Delta S)$不断缩小到点$M$且保持法向量为$\bm n$不变。它反映了$\bm A$在点$\bm M$绕方向$\bm n$的旋转趋势大小。
旋度：$\bold{rot}\ A=\nabla\times\bm A=\begin{vmatrix}\bm i&\bm j&\bm k\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}$
则$\frac{\text d\Gamma}{\text dS}=\bold{rot}\ A\cdot\bm e_n=\|\bold{rot}\ A\|\cos(\bold{rot}\ A,\bm e_n)$

旋度有关的计算公式：
(1) $\nabla\times(C\bm A)=C\nabla\times\bm A$
(2) $\nabla\times(\bm A\pm\bm B)=\nabla\times\bm A\pm\nabla\times\bm B$
(3) $\nabla\times u\bm A=u(\nabla\times\bm A)+\nabla u\times\bm A$

场的其他计算公式：
(1) $\nabla\cdot(\bm A\times\bm B)=\bm B\cdot(\nabla\times\bm A)-\bm A\cdot(\nabla\times\bm B)$
(2) $\nabla\cdot(\nabla\times\bm A)=0$（暴力运算即可证明）
(3) $\nabla\times(\nabla u)=\bm 0$（因为有势场是无旋场）
(4) $\nabla\cdot(\nabla u)=\Delta u=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}$
(5) $\nabla\times(\nabla\times A)=\nabla(\nabla\cdot\bm A)-\nabla^2\bm A$，其中$\nabla^2\bm A=\Delta \bm A=(\Delta P,\Delta Q,\Delta R)$

五、重要的特殊向量场

1. 无旋场（基于斯托克斯公式）

定义 设有向量场$\bm A(M)\in C((G)),(G)\subseteq\mathbb R^3$。
(1) 若线积分$\int_{(A)}^{(B)}\bm A(M)\cdot\bold d\bm s$的值在$(G)$内与路径无关，则称$\bm A$为保守场，其中$A,B$为$(G)$内任意两点；
(2) 若在$(G)$内恒有$\bold{rot}\ A=0$，则称$\bm A$为无旋场；
(3) 若存在定义在$(G)$上的函数$u$，使得$\bm A=\nabla u$，则称$\bm A$为有势场，并称$u$为$\bm A$的势函数。

定理6 设$(G)$是一维单连域，$\bm A=(P,Q,R)\in C^{(1)}((G))$，则下列四个命题等价：
(1) $A$是无旋场；
(2) $A$是保守场；
(3) $A$是有势场；
(4) 沿$(G)$内任一简单闭曲线$(C)$均有$\oint_{(C)}\bm A(M)\cdot\bold d\bm s=\oint_{(C)}P\text dx+Q\text dy+R\text dz=0$

2. 无源场（基于高斯公式）

定义 若在向量场$\bm A$的场域中处处都有$\nabla\cdot\bm A=0$，则称$\bm A$为无源场。

定理7 设$(G)\subseteq\mathbb R^3$是二维单连域，$\bm A\in C^{(1)}((G))$，则下列三个命题是等价的：
(1) $\bm A$是无源场；
(2) $\bm A$沿$(G)$内任一不自相交闭曲面$(S)$的通量为$0$，即$\oiint\limits_{(S)}\bm A\cdot\text d\bm S=0$；
(3) 在$(G)$内存在任一向量函数$\bm B(M)$，使得$\bm A=\nabla\times\bm B$，即$\bm A$是某向量场$\bm B$的旋度场，其中$\bm B$称为$\bm A$的一个向量势。

3. 调和场

定义 既无源又无旋的向量场$\bm A$称为调和场，即在场域内恒有$\nabla\cdot\bm A=0,\quad\nabla\times\bm A=\bm 0$