随机数的算法分析
摘 要：
我们知道，不管是在计算机编程，还是网站设计、分析实际问题，随机数都有广泛的应用。本文首先讨论了生成0-1之间均匀分布随机数的一些算法，进而给出了由0-1之间均匀分布生成指数分布、正态分布、χ2分布、二项分布、泊松分布的一般算法，并通过方差分析、均值检验、χ2检验对所得数据进行分析，最后得出满足一般要求的一系列随机数。
关键词：
随机数，均匀分布，线性同余法，人字映射，平方取中法，正态分布，指数分布，χ2分布，二项分布，泊松分布，皮尔逊χ2检验法，C++
1-0：Microsoft VC++产生随机数的原理：
Srand ( )和Rand( )函数。它本质上是利用线性同余法，y=ax+b(mod m)。其中a，b，m都是常数。因此rand的产生决定于x，x被称为Seed。Seed需要程序中设定，一般情况下取系统时间作为种子。它产生的随机数之间的相关性很小，取值范围是0—32767（int），即双字节（16位数），若用unsigned int 双字节是65535，四字节是4294967295，一般可以满足要求。
1-1： 线性同余法：
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其中M是模数，A是乘数，C是增量，为初始值，当C=0时，称此算法为乘同余法；若C≠0，则称算法为混合同余法，当C取不为零的适当数值时，有一些优点，但优点并不突出，故常取C=0。模M大小是发生器周期长短的主要标志，常见有M为素数，取A为M的原根，则周期T=M-1。例如：
a=1220703125
a=32719 （程序中用此组数）
a=16807
代码：
void main( )
{
const int n=100;
double a=32719,m=1,f[n+1],g[n],seed;
m=pow(2,31);
cout<<"设置m值为 "<<m-1<<endl;
cout<<"输入种子"<<endl; //输入种子
cin>>seed;
f[0]=seed;
for(int i=1;i<=n;i++) //线性同余法生成随机数
{
f[i]=fmod((a*f[i-1]),(m-1));
g[i-1]=f[i]/(m-1);
cout.setf(ios::fixed);cout.precision(6); //设置输出精度
cout<<i<<" "<<'\t'<<g[i-1]<<endl;
}
}
结果分析：统计数据的平均值为：0.485653
统计数据的方差为：0.320576
1-2：人字映射
递推公式
?/P>
就是有名的混沌映射中的“人字映射”或称“帐篷映射”，它的非周期轨道点的分布密度函数：人字映射与线性同余法结合，可产生统计性质优良的均匀随机数。
for(int i=1;i<=n;i++) //线性同余法生成随机数
{
f[i]=fmod((a*f[i-1]),m);
if(f[i]<=m/2) //与人字映射结合生成随机数
{
f[i]=2*f[i];
}
else
{
f[i]=2*(m-f[i])+1;
}
1-3：平方取中法——冯·诺伊曼
1946年前后，由冯·诺伊曼提出，他的办法是去前面的随机数的平方，并抽取中部的数字。例如要生成10位数字，而且先前的值是5772156649，平方后得到33317792380594909201，所以下一个数是7923805949。
for(j=1;j<=n;j++)
{
i[j]=i[j-1]*i[j-1];
i[j]=i[j]/pow(10,5);
i[j]=fmod(i[j],pow(10,10));
g[j]=i[j]/pow(10,10);
cout.setf(ios::fixed);cout.precision(6); //设置输出精度
cout<<j<<'\t'<<g[j]<<endl;
}
二：任意分布随机数的生成
利用(0，1)均匀分布的随机数可以产生任意分布的随机数。主要的方法有反函数法，舍选法，离散逼近法，极限近似法和随机变量函数法等。这里主要讨论了反函数法，当然对于具体分布函数可以采用不同的方法。
设随机变量X具有分布函数F(X)，则对一个给定的分布函数值，X的值为
其中inv表示反函数。现假设r是(0，1)均匀分布的随机变量R的一个值，已知R的分布函数为
因此，如果r是R的一个值，则X具有概率
也就是说如果 (r1,r2,...,rn)是R的一组值，则相应可得到的一组值
具有分布。从而，如果我们已知分布函数的反函数，我们就可以从(0，1)分布的均匀分布随机数得到所需分布的随机数了。
1-4：指数分布：
指数分布的分布函数为:
x<0时,F(x)=0 ； ,F(x)=1-exp
利用上面所述反函数法，可以求得: x= ln(1-y)，这里不妨取常数 为1.
for(int j=0;j<n;j++)
{
i=rand()%100;//产生从0-32767的任意一个值
a[j]=double(i)/double(100);
a[j]=-log(a[j]);// 常数大于0，这里取1
、、、、、、、
1-5：正态分布：
正态分布的概率密度是：
正态分布的分布函数是：
对于正态分布，利用反函数的方法来获取正态分布序列显然是很麻烦的，牵涉到很复杂的积分微分运算，同时为了方便，我们取，即标准正态分布。因此这里介绍了两种算法：
第一种：
Box和Muller在1958年给出了由均匀分布的随机变量生成正态分布的随机变量的算法。设U1, U2是区间 (0, 1)上均匀分布的随机变量，且相互独立。令
X1=sqrt(-2*log(U1)) * cos(2*PI*U2);
X2=sqrt(-2*log(U1)) * sin(2*PI*U2);
那么X1, X2服从N(0,1)分布，且相互独立。
p=rand()%100;//产生从0-32767的任意一个值
b[j]=double(p)/double(100);
a[j]=sqrt(-2*log(a[j]))*cos(2*3.1415926*b[j]);
第二种：
近似生成标准正态分布，独立同分布的多个随机变量和的分布趋近于正态分布,取k个均匀分布的(0,1)随机变量，，…… ，则它们的和近似服从正态分布。
实践中,取k=12,(因为D( )=1/12),则新的随机变量y=x1+x2+...+x12-6，可以求出数学期望E(y)=0,方差D(y)=12*1/12=1，因此可以近似描述标准正态分布。
