定义：
內积（点积）：如果
和
是
中
矩阵定义它们的点积
，我们将其记为一个不加括号的实数（类比两向量相乘）
向量的长度：类比向量的模，即为向量的长度
向量
和
之间的距离：
正交向量：如果
，则两个向量
和
是正交的
正交补：与子空间W正交的向量
的全体组成的集合成称为W的正交补，记作
正交集：
中的向量集合
称为正交向量集，如果集合中的任意两个不同向量都正交
单位正交集：如果一个正交集是由单位向量构成，称为单位正交集
正交投影：类似于一个矢量在一个方向上的分量，记为
正交矩阵：一个正交矩阵
是一个可逆的方阵，且满足
正交对角化：如果存在一个正交矩阵
（满足
）和一个对角矩阵
使得：
那么
称为可正交对角化
二次型：
上的一个二次型是一个定义在
上的函数，它在向量
处的值可由表达式
计算，此处
是一个
对称矩阵，且矩阵
称为关于二次型的矩阵定理：
两个向量
和
是正交的充要条件是
假设
是
矩阵，那么
的行向量空间的正交补空间是
的零空间，且
的列向量空间的正交补是
的零空间
且
一个
矩阵
具有单位正交列向量的充要条件是
一个
矩阵
可正交对角化的充要条件是
是对称矩阵
设
是一个
对称矩阵，那么存在一个正交变量变换
，它将二次型
变换为不含交叉项的二次型
，矩阵
的列称为二次型
的主轴
设
是一个
对称矩阵，那么一个二次型是：
正定的：对所有的
，
,当且仅当
的所有特征值是正数
负定的:对所有的
,
,当且仅当
的所有特征值是负数
不定的：对所有的
,
既有正值也有负值,当且仅当
的特征值既有正数，也有负数
格拉姆——施密特正交化的意义：
首先选取一个向量作为基中的一个向量，以后的每一步都是选定的向量减去在已选定向量上的投影，因此，每一次算出来的向量与原来所有向量都是正交的，最后将其单位化，即可得到单位正交基
主轴的意义：
中所有满足
(c是一个常数)的所有x的集合对应一个椭圆(圆)、双曲线、两条相交直线、单个点或不含任意点，如果
是一个对角矩阵，那么x的集合是标准位置，如果
不是对称矩阵，那么x的集合就是标准位置的旋转，找到主轴(由
的特征向量决定)等同于找到一个新的坐标系统，在该系统下其图形是标准位置的图形！
线性代数的主要内容到此基本结束，如果感兴趣的话，当然还有更多的扩展内容，例如矩阵的LU分解，QR分解，SVD分解等等，考虑到考研中并不涉及到这部分，而且时间有限，只能割爱
祝愿大家能够在线性代数中得到更多的快乐
