图片来源于网络，文末附本文源码下载方法
笔者之前写过一篇名为《用PCA方法进行数据降维》的文章，文章中主要讲述了如何用PCA（主成分分析）来对数据进行降维的方法。而今天笔者将介绍另一种常用的数据降维方法——LDA。
LDA的全称是linear discriminant analysis，即线性判别分析，LDA与PCA一样，都可用于数据降维，但二者既有相似也有区别，PCA主要是从特征/维度的协方差角度，去找到比较好的投影方式，即选择样本点投影具有最大方差的方向，而LDA则是寻找一个投影方向，让原先的数据在这个方向上投影后，不同类别之间数据点距离尽可能大，而同类别数据点距离尽可能小。此外PCA属于无监督式学习，很多情况下需要配合其他算法使用，而LDA属于监督式学习，本身除了可以用于降维外，还可以进行预测分析，说白了就是既可以“团战”，也可以单独打怪。而本文就主要讲述如何用LDA来进行数据分类，当然这里面肯定也会用到降维的原理。
LDA的大致原理如图1所示。图1中左图是按照常规坐标系来分析，这时可以看到数据有部分重叠，在分类时可能会有干扰，这时我们就要找到一个投影方向，让这些数据在这个方向上的投影，做到类之间距离尽可能大，类内数据尽可能聚集，如右图所示。
图1. LDA原理图
下面再简单介绍一下LDA的数学原理。
以最简单的两个类别为例，假设Xi、ui、Σi分别表示第i类样本点的集合、均值向量、协方差矩阵，若将数据投影到直线w上，则两类样本的中心在直线上的投影分别是w^Tu1和w^Tu2，在所有样本点都投影到直线上后，两类样本的协方差分别是w^TΣ1w和w^TΣ2w。我们要想让类别之间距离更大、类内距离更小，也就是要使图2中的（1）式最大。在这里我们再定义两个概念，一个是类内散度阵（within-class scatter matrix），即图2中（2）式，一个是类间散度阵（between-class scatter matrix），即图2中（3）式。那么这个让（1）式最大的问题就转化为最大化一个瑞利熵，即最大化（4）式。
图2. LDA部分推导公式
而求解（4）式也就是相当于求解图3中（5）式，用拉格朗日乘法求解，得到图3中（6）式，这就转化成了一个求特征方程的问题了，也就是求n-1个最大特征值所对应的特征向量（n是维度）。这个按照我们正常求解特征方程就可以了。
图3. LDA部分推导公式
在实际使用中，如果按照上述原理推导会非常麻烦，但是scikit-learn中已经为我们提供了现成的LDA方法，我们只要直接调用即可，下面就以scikit-learn为例，来看一下LDA在实际使用中的效果。
这次选用的数据集是鸢尾花数据集，来自seaborn库，大小为150行、5列，数据集样例如图4所示。
图4. 鸢尾花数据集样例
首先还是导入各种库。
import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.metrics import classification_report
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis as LDA然后是设置训练数据集和测试数据集。熟悉鸢尾花数据集的人都知道，这个数据集中150个样本点可以分为3个类别，每个类别各有50个样本点，这三个类别是'setosa'、'versicolor'和'virginica'，可以用代码set(data['species'].values)来查看这三个值。我们在这里要设置训练集和测试集，就要在每个类别中都取得一定量的数据，笔者的方法是选取总数据集中60%的数据为训练集，即训练集一共是90个样本点，其中每个类别取前30个样本点，而测试集就是剩下的60个样本点，每个类别就是20个，代码如下。
data = sns.load_dataset('iris') #总数据集
data_train = data.iloc[np.r_[0:30, 50:80, 100:130]] #训练集
data_test = data.iloc[np.r_[30:50, 80:100, 130:150]] #测试集
train_x = data_train.iloc[:,:4] #训练集数据
train_y = data_train.iloc[:,4] #训练集分类
test_x = data_test.iloc[:,:4] #测试集数据
test_y = data_test.iloc[:,4] #测试集分类
接下来就是设置分类器，并用分类器进行训练和预测，代码如下。
clf = LDA(n_components=2) #分类器
clf.fit(train_x, train_y) #用数据进行训练
pre_y = clf.predict(test_x) #对测试数据进行预测这里clf = LDA(n_components=2)中，n_components=2就是我们最终要得到的数据维度数，原数据是4个维度，而这里我们要把它降维到2维，实际上这里我们只能选择2维和1维，因为n_components的默认值是数据集维度数和数据集分类数-1这两个中较小者，本例中维度数是4，数据集分类数-1是2（分类数是3），而这里n_components的值只能小于或等于2，所以我们选2。然后我们输出预测结果，结果如图5所示。
图5. 60%情况下预测结果
从图中可以看到预测效果还是很好的，准确率在95%以上，为了更好地了解LDA的效果，笔者又分别作了两次测试，即分别取总数据集40%和80%的数据为训练集，这里40%的数据量就是60个样本点，每个类别取前20个样品，剩下的60%（也就是90个样本点）为测试集，而80%的情况也同理。这里笔者不再粘贴代码，代码只需对前面代码进行小的修改即可，只附上最终结果，预测的结果如图6和图7所示。
图6. 40%情况下预测结果
图7. 80%情况下预测结果
从图中我们可以看到，在40%和80%训练量这两种情况下，最终预测的准确率都非常高，40%的条件下和60%的结果几乎一样，而80%的情况下三个类别的预测准确率竟然高达100%。这里笔者推测，准确率如此之高的原因，除了LDA方法的优势之外，可能和我们选用的鸢尾花数据集有关，这个数据集比较简单，其类别比较容易区分，即便选择其他的分类方法，也同样能取得好的效果。而这里还有一个小插曲，LDA方法的提出者Ronald Fisher，同时也是鸢尾花数据集的提出者，用他自己的方法来分析自己的数据集，结果肯定不会差。
本文用scikit-learn来对LDA方法进行了一个说明，并且在案例中也取得了不错的效果，但希望用户不要对LDA的使用过于盲目，其自身依然存在一些不足，比如当样本量远小于样本的特征数时，分类效果会很差，同时LDA不适合对非高斯分布的样本进行降维，LDA还可能过度拟合数据等等。
