动态规划之矩阵连乘问题

原创

mb5c9304c35413c 2022-05-27 23:02:00 博主文章分类：算法--动态规划 ©著作权

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【问题描述】

给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。例如，给定三个连乘矩阵{A1，A2，A3}的维数分别是10*100，100*5和5*50，采用（A1A2）A3，乘法次数为10*100*5+10*5*50=7500次，而采用A1（A2A3），乘法次数为100*5*50+10*100*50=75000次乘法，显然，最好的次序是（A1A2)A3，乘法次数为7500次。

分析：
矩阵链乘法问题描述：
给定由n个矩阵构成的序列｛A1，A2，...，An}，对乘积A1A2...An，找到最小化乘法次数的加括号方法。

1）寻找最优子结构
此问题最难的地方在于找到最优子结构。对乘积A1A2...An的任意加括号方法都会将序列在某个地方分成两部分，也就是最后一次乘法计算的地方，我们将这个位置记为k，也就是说首先计算A1...Ak和Ak+1...An，然后再将这两部分的结果相乘。
最优子结构如下：假设A1A2...An的一个最优加括号把乘积在Ak和Ak+1间分开，则前缀子链A1...Ak的加括号方式必定为A1...Ak的一个最优加括号，后缀子链同理。
一开始并不知道k的确切位置，需要遍历所有位置以保证找到合适的k来分割乘积。

2）构造递归解
设m[i,j]为矩阵链Ai...Aj的最优解的代价，则

3）构建辅助表，解决重叠子问题
从第二步的递归式可以发现解的过程中会有很多重叠子问题，可以用一个nXn维的辅助表m[n][n] s[n][n]分别表示最优乘积代价及其分割位置k 。
辅助表s[n][n]可以由2种方法构造，一种是自底向上填表构建，该方法要求按照递增的方式逐步填写子问题的解，也就是先计算长度为2的所有矩阵链的解，然后计算长度3的矩阵链，直到长度n；另一种是自顶向下填表的备忘录法，该方法将表的每个元素初始化为某特殊值(本问题中可以将最优乘积代价设置为一极大值)，以表示待计算，在递归的过程中逐个填入遇到的子问题的解。

对于一组矩阵:A1(30x35),A2(35x15),A3(15x5),A4(5x10),A5(10x20),A6(20x25) 个数N为6

那么p数组保存它们的行数和列数：p={30,35,15,5,10,20,25}共有N+1即7个元素

p[0],p[1]代表第一个矩阵的行数和列数，p[1],p[2]代表第二个矩阵的行数和列数......p[5],p[6]代表第六个矩阵的行数和列数

动态规划之矩阵连乘问题_子结构

计算顺序为：

辅助表m: m[i][j]代表从矩阵Ai，Ai+1，Ai+2......直到矩阵Aj最小的相乘次数，比如A[2][5]代表A2A3A4A5最小的相乘次数，即最优的乘积代价。我们看上图，从矩阵A2到A5有三种断链方式：A2{A3A4A5}、{A2A3}{A4A5}、{A2A3A4}A5，这三种断链方式会影响最终矩阵相乘的计算次数，我们分别算出来，然后选一个最小的，就是m[2][5]的值,同时保留断开的位置k在s数组中。

源代码（自底向上的方式）（还有自低向下方式）

#include
using namespace std;
 
const int N=7;
//p为矩阵链，p[0],p[1]代表第一个矩阵的行数和列数，p[1],p[2]代表第二个矩阵的行数和列数......length为p的长度
//所以如果有六个矩阵，length=7，m为存储最优结果的二维矩阵，s为存储选择最优结果路线的
//二维矩阵
void MatrixChainOrder(int *p,int m[N][N],int s[N][N],int length)
{
    int n=length-1;
    int l,i,j,k,q=0;
    //m[i][i]只有一个矩阵，所以相乘次数为0，即m[i][i]=0;
    for(i=1;i    {
        m[i][i]=0;
    }
    //l表示矩阵链的长度
    // l=2时，计算 m[i,i+1],i=1,2,...,n-1 (长度l=2的链的最小代价)
    for(l=2;l<=n;l++)
    {
        for(i=1;i<=n-l+1;i++)
        {
            j=i+l-1; //以i为起始位置，j为长度为l的链的末位，
            m[i][j]=0x7fffffff;
            //k从i到j-1,以k为位置划分
            for(k=i;k<=j-1;k++)
            {
                q=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
                if(q                {
                    m[i][j]=q;
                    s[i][j]=k;
                }
            }
        }
    }
    cout << m[1][N-1] << endl;
}
void PrintAnswer(int s[N][N],int i,int j)
{
    if(i==j)
    {
        cout<<"A"<    }
    else
    {
        cout<<"(";
        PrintAnswer(s,i,s[i][j]);
        PrintAnswer(s,s[i][j]+1,j);
        cout<<")";
    }
}
int main()
{
    int p[N]={30,35,15,5,10,20,25};
    int m[N][N],s[N][N];
    MatrixChainOrder(p,m,s,N);
    PrintAnswer(s,1,N-1);
    return 0;
}