微分方程
欧拉法
前向欧拉:
后退欧拉:
两步欧拉:
变形欧拉:
改进欧拉: KaTeX parse error: \tag works only in display equations
误差分析
截断方法误差
前向欧拉:
后退欧拉:
两步欧拉:
变形欧拉:
改进欧拉:
- 等价于有阶精度
前向欧拉累积方法误差
前向欧拉累积舍入误差
改进欧拉累积方法误差
改进欧拉累积舍入误差
龙格-库塔
二阶龙格-库塔
,
四阶龙格-库塔
线性多步法
显性公式
隐性公式
隐性公式优于显示公式 (显示预测、隐式校正)
泰勒展开构造
例如: 令
解: 把都泰勒展开,让尽可能多的项被消掉
方程求根
迭代法
- 问题: 求解
求解: 由于,因此构造,迭代求取有 - 定理: 若 收敛到
(第二个条件等价于区间内导数恒小于一) - 定理: 若在附近连续 在附近收敛到
方法: 令、要求、给求或给求 - p阶收敛
- 事后估计(给出误差上界):
事前估计(给出迭代次数):
牛顿法
- 收敛 (证明)
- 牛顿下山法(可以不用在意初值)
- m重根
若则有
法一:
法二:
弦截法&抛物线法
- 弦截法
- 抛物线法
线性方程组
高斯法
- 高斯消去: 加减法次、乘除法次、各阶顺序主子式不为零
- 主元素消去: 列主元素消去(交换行)、行主元素消去(交换列)、全面主元素消去
- 三角分解: 存在且唯一 (其中L是单位下三角U是上三角阵)
三角分解
- 直接法: 欲求、分解为、先用求得、再用求得
- 平方根法: 为对称阵、可分解为、先用求得、再用求得
范数
- 向量范数
- $ ||cx|| \geq c||x||$
- 矩阵范数(需额外满足)
- , 称为与向量范数相容的矩阵范数
- 范数
- , 列范数
- , $||A||2 = \sqrt{\lambda{max}(A^TA)} $
- , 列范数
- 误差分析
- 条件数 (条件数过大称为病态)
- ,
- 事后估计
迭代法
- 雅可比法
- G-S法
- 定理:
- $||B|| \lt 1 \Rightarrow $ 迭代法收敛 (证明: )
- A是严格对角优势阵
- A是正定对称阵
逐次超松弛迭代
- SOR法: 由G-S可知、加入松弛因子、整理可得
- 定理
- SOR法收敛
- A正定对称且
- 误差估计
- 事后 , (给出上界)
- 舍入
第八章
特征值求取
- 引理
- 幂法
- 反幂法
- QR法