Dynamic Programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems, solving each of those subproblems just once, and storing their solutions.
- 将复杂的原问题拆解成若干个简单的子问题
- 每个子问题仅仅解决1次，并保存它们的解
- 最后推导出原问题的解
可以用动态规划来解决的问题，通常具备2个特点
1、最优子结构(最优化原理)：通过求解子问题的最优解，可以获得原问题的最优解
2、无后效性
- 某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各状态及决策的影响(未来与过去无关)
- 在推导后面阶段的状态时，只关心前面阶段的具体状态值，不关心这个状态是怎么一步步推导出来的
练习：连续子数组的最大和
一开始的思绪：
看到这个题目的时候，不知道动态规划的时候，就开始去思考怎么解，总是会胡思乱想，然后没法细致的去拆解问题，从而没有一个着力点。
动态规划的解题思路
1.状态定义
假设 dp(i) 是以 nums[i] 结尾的最大连续子序列和(nums是整个序列)
dp是对(Dynamic Programming)简写
以 nums[0] –2 结尾的最大连续子序列是 –2，所以 dp(0) = –2
以 nums[1] 1 结尾的最大连续子序列是 1，所以 dp(1) = 1
以 nums[2] –3 结尾的最大连续子序列是 1、–3，所以 dp(2) = dp(1) + (–3) = –2
以 nums[3] 4 结尾的最大连续子序列是 4，所以 dp(3) = 4
以 nums[4] –1 结尾的最大连续子序列是 4、–1，所以 dp(4) = dp(3) + (–1) = 3
以 nums[5] 2 结尾的最大连续子序列是 4、–1、2，所以 dp(5) = dp(4) + 2 = 5
以 nums[6] 1 结尾的最大连续子序列是 4、–1、2、1，所以 dp(6) = dp(5) + 1 = 6
以 nums[7] –5 结尾的最大连续子序列是 4、–1、2、1、–5，所以 dp(7) = dp(6) + (–5) = 1
以 nums[8] 4 结尾的最大连续子序列是 4、–1、2、1、–5、4，所以 dp(8) = dp(7) + 4 = 5
2.状态转移方程
如果 dp(i – 1) ≤ 0，那么 dp(i) = nums[i]
如果 dp(i – 1) > 0，那么 dp(i) = dp(i – 1) + nums[i]
3.设定初始状态和确定最终的解
初始状态
dp(0) 的值是 nums[0]
最终的解 最大连续子序列和是所有 dp(i) 中的最大值 max { dp(i) }，i ∈ [0, nums.length)
总结：整个核心就在状态转移方程
本题的状态转移方程就很清晰，如果dp(i-1)是负数那么dp(i)就不要和之前的连续数组合在一起。如果是正数，那就合在一起。因为每一步都是最优解，所以结果就是max { dp(i) }。
代码实现
func maxSubarray(nums: [Int]) -> Int {
if nums.count == 0 { return 0 }
var dp = [Int](repeating: nums[0], count: nums.count)
var maxValue = dp[0]
for (i, value) in nums.enumerated() {
if i >= 1 {
let prev = dp[i - 1]
if prev > 0 {
dp[i] = dp[i-1] + value
} else {
dp[i] = value
}
}
maxValue = max(maxValue, dp[i])
}
return maxValue
}
上面这个算法的时间复杂度是O(n), 空间复杂度也是O(n)。因为记录了每一个dp(i)
func maxSubArray(_ nums: [Int]) -> Int {
if nums.count == 0 { return 0 }
var maxValue = nums[0]
var dp = nums[0]
for i in 1..<nums.count {
if dp > 0 {
dp = dp + nums[i]
} else {
dp = nums[i]
}
maxValue = max(maxValue, dp)
}
return maxValue
}
这个算法的时间复杂度是O(n), 空间复杂度也是O(1)。因为本题不需要记录之前的值，对上面一个算法的优化。
欢迎关注【无量测试之道】公众号，
Python编程学习资源干货、
Python+Appium框架APP的UI自动化、
Python+Selenium框架Web的UI自动化、
Python+Unittest框架API自动化、
文章下方有公众号二维码，可直接微信扫一扫关注即可。
备注：我的个人公众号已正式开通，致力于测试技术的分享，包含：大数据测试、功能测试，测试开发，API接口自动化、测试运维、UI自动化测试等，微信搜索公众号：“无量测试之道”，或扫描下方二维码：
添加关注，让我们一起共同成长！
