【数字信号处理】线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( 线性卷积起点定理推导过程 )

文章目录

推导 【数字信号处理】线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( 线性卷积起点定理 | 左边序列概念 | 推理 ) 一、线性卷积起点定理 章节中的 " 线性卷积起点定理 " ;

一、线性卷积起点定理推导过程

---

先考虑 x ( n ) x(n) x(n) 和 y ( n ) y(n) y(n) 是 右边序列 的情况 ;

g ( n ) = x ( n ) ∗ y ( n ) = ∑ i = − ∞ + ∞ x ( i ) y ( n − i ) g(n) = x(n) * y(n) = \sum^{+\infty}_{i = -\infty} x(i) y(n - i) g(n)=x(n)∗y(n)=i=−∞∑+∞x(i)y(n−i)

右边序列 x ( i ) x(i) x(i) 是 从某个点 N 1 N_1 N1 开始有值 , 如果 i ≤ N 1 i \leq N_1 i≤N1 时 , x ( i ) x(i) x(i) 值都为 0 0 0 , 因此 ∑ i = − ∞ + ∞ x ( i ) y ( n − i ) \sum^{+\infty}_{i = -\infty} x(i) y(n - i) ∑i=−∞+∞x(i)y(n−i) 式子计算时 , 可以不用从 i = − ∞ i = -\infty i=−∞ 开始累加 , 从 i = N 1 i =N_1 i=N1 开始累加即可 ;

g ( n ) = x ( n ) ∗ y ( n ) = ∑ i = N 1 + ∞ x ( i ) y ( n − i ) g(n) = x(n) * y(n) = \sum^{+\infty}_{i = N_1} x(i) y(n - i) g(n)=x(n)∗y(n)=i=N1∑+∞x(i)y(n−i)

右边序列 y ( n − i ) y(n - i) y(n−i) 是从某个点 N 2 N_2 N2 开始有值 , n − i n - i n−i 一定是大于等于 N 2 N_2 N2 时 , 才有值

n − i ≥ N 2 n - i \geq N_2 n−i≥N2​

i ≤ n − N 2 i \leq n - N_2 i≤n−N2​

因此 , 这里 i i i 的取值不用到 + ∞ +\infty +∞ , 最高取值 n − N 2 n - N_2 n−N2 即可 ;

g ( n ) = x ( n ) ∗ y ( n ) = ∑ i = N 1 n − N 2 x ( i ) y ( n − i ) g(n) = x(n) * y(n) = \sum^{n - N_2}_{i = N_1} x(i) y(n - i) g(n)=x(n)∗y(n)=i=N1∑n−N2x(i)y(n−i)

如果 n − N 2 < N 1 n - N_2 < N_1 n−N2<N1 , 即 n < N 1 + N 2 n < N_1 + N_2 n<N1+N2 , 则有 i < N 1 i < N_1 i<N1 , 此时

∑ i = − N 1 n − N 2 x ( i ) y ( n − i ) \sum^{n - N_2}_{i = -N_1} x(i) y(n - i) i=−N1∑n−N2x(i)y(n−i)

计算结果为 0 0 0 , 只有在 n − N 2 ≥ N 1 n - N_2 \geq N_1 n−N2≥N1 时 , 即 n ≥ N 1 + N 2 n \geq N_1 + N_2 n≥N1+N2 时 ,

g ( n ) = x ( n ) ∗ y ( n ) = ∑ i = N 1 n − N 2 x ( i ) y ( n − i ) g(n) = x(n) * y(n) = \sum^{n - N_2}_{i = N_1} x(i) y(n - i) g(n)=x(n)∗y(n)=i=N1∑n−N2x(i)y(n−i)

才有意义 ;