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一、LTI 系统单位脉冲响应
线性时不变系统 , 简称 " LTI " , 英文全称 Linear time-invariant ;
系统的 " 时域特性 " 为 h ( n ) = T [ δ ( n ) ] h(n) = T[\delta(n)] h(n)=T[δ(n)] ;
在 " 模拟系统 " 中 , 当系统输入为 δ ( t ) \delta(t) δ(t) 时 , 系统的 " 零状态响应 " 是 h ( t ) h(t) h(t) ;
在 " 离散系统 " 中 , 当系统输入为 δ ( n ) \delta(n) δ(n) 时 , 系统的 " 零状态响应 " 是 h ( n ) h(n) h(n) , 零状态是 y ( − 1 ) = 0 y(-1) = 0 y(−1)=0 ;
定义了系统的 " 单位脉冲响应 " 之后 , 系统的 " 输入 " 和 " 输出 " 之间 , 存在着 " 卷积 " 关系 ;
二、卷积
对于 线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 来说 ,
假设 x ( n ) x(n) x(n) 是 LTI 系统的 " 输入序列 " , y ( n ) y(n) y(n) 是 " 输出序列 " ,
则有 :
y ( n ) = ∑ m = − ∞ + ∞ x ( m ) h ( n − m ) = x ( n ) ∗ h ( n ) y(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) h(n-m) = x(n) * h(n) y(n)=m=−∞∑+∞x(m)h(n−m)=x(n)∗h(n)
线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 的
" 输出序列 "
等于
" 输入序列 " 与 " 系统单位脉冲响应 " 的 线性卷积 ;
推导过程如下 :
任何一个 输入序列 x ( n ) x(n) x(n) , 都可以由 单位脉冲序列 的 加权和 表示 :
x ( n ) = ∑ m = − ∞ + ∞ x ( m ) δ ( n − m ) x(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) \delta(n-m) x(n)=m=−∞∑+∞x(m)δ(n−m)
与上面的 输入序列 x ( n ) x(n) x(n) 相对应的 输出序列 y ( n ) y(n) y(n) 为 :
y ( n ) = T [ x ( n ) ] = ∑ m = − ∞ + ∞ x ( m ) T [ δ ( n − m ) ] y(n) = T[x(n)] = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) T[\delta(n-m)] y(n)=T[x(n)]=m=−∞∑+∞x(m)T[δ(n−m)]
上述式子中使用的 系统 T [ δ ( n − m ) ] T[\delta(n-m)] T[δ(n−m)] 是 " 线性 " 系统 ,
当该系统 T T T 的输入为 δ ( n ) \delta(n) δ(n) 时 , 输出为 h ( n ) h(n) h(n) ;
( 根据 " 时不变 " 系统的性质 , 系统特性不随着时间变化而变化 )
当该系统 T T T 的输入为 δ ( n − m ) \delta(n-m) δ(n−m) 时 , 输出为 h ( n − m ) h(n-m) h(n−m) ;
( 根据 " 时不变 " 系统的性质 , 系统特性不随着时间变化而变化 )
∑ m = − ∞ + ∞ x ( m ) h ( n − m ) = x ( n ) ∗ h ( n ) \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) h(n-m) = x(n) * h(n) m=−∞∑+∞x(m)h(n−m)=x(n)∗h(n)
