【集合论】偏序关系 ( 偏序关系定义 | 偏序集定义 | 大于等于关系 | 小于等于关系 | 整除关系 | 包含关系 | 加细关系 )

① 自反 : 每个元素自己和自己都有关系 , x R x xRx xRx ;
② 反对称 : 如果 x R y xRy xRy 并且 y R x yRx yRx 则 x = y x=y x=y , 即 x ̸ = y x \not=y x̸=y , x R y xRy xRy 和 y R x yRx yRx 不能同时存在 ; 可以没有 , 但是一定不能同时出现 ;
③ 传递 : 如果有 x R y xRy xRy , y R z yRz yRz , 那么必须有 x R z xRz xRz , 如果前提不成立 , 那么也勉强称为传递 ;

3.结论 : 称 R R R 为 A A A 上的偏序关系 ;

4.表示 : 使用 ⪯ \preceq ⪯ 表示偏序关系 ;

5.读法 : ⪯ \preceq ⪯ 读作 "小于等于" ;

6.使用公式表示 : < x , y > ∈ R ⟺ x R y ⟺ x ⪯ y <x, y> \in R \Longleftrightarrow xRy \Longleftrightarrow x \preceq y <x,y>∈R⟺xRy⟺x⪯y

7.公式解读 : 如果 x x x , y y y 两个元素构成有序对 < x , y > <x,y> <x,y> , 并且在偏序关系 R R R 中 , x x x 和 y y y 具有 R R R 关系 , 也可以写成 x x x 小于等于 ( 偏序符号 ) y y y ;

8.常见的偏序关系 : 树上的小于等于关系 , 集合上的包含关系 , 非 0 0 0 自然数之间的整除关系 , 都是常见的偏序关系 ;

( 2 ) 偏序关系与等价关系 ( 等价关系用于分类 | 偏序关系用于组织 )

偏序关系与等价关系 :

1.表示层次结构 : 偏序关系是非常常用的二元关系 , 通常用来 表示层次结构 ;
2.等价关系 : 等价关系是用来分类的 , 将一个集合分为几个等价类 ;
3.偏序关系 : 偏序关系通常是用来组织的 , 在每个类的内部 , 赋予其一个结构 , 特别是层次结构 , 有上下层级 ,

2. 偏序集定义

( 1 ) 偏序集定义

偏序集定义 :

1.前置条件 1 : ⪯ \preceq ⪯ 是 A A A 上的偏序关系 ;
2.结论 : < A , ⪯ > <A , \preceq> <A,⪯> 是偏序集 ;
3.解读 : 集合 A A A 与偏序关系 ⪯ \preceq ⪯ 构成的有序对 , 称为偏序集 ;

二. 偏序关系示例

1. 小于等于关系

( 1 ) 小于等于关系说明

偏序集示例 1 ( 小于等于关系 ≤ \leq ≤ 是偏序关系 ) :

1.公式表示 : ∅ ̸ = A ⊆ R , < A , ≤ > \varnothing \not= A \subseteq R , <A , \leq > ∅̸=A⊆R,<A,≤>
2.语言描述 : 如果 A A A 是实数集 R R R 的子集 , 并且 A A A 不能是空集 ∅ \varnothing ∅ , 集合 A A A 中的小于等于关系 , 是偏序关系 ;
3.使用集合形式表示关系 : ≤ = { < x , y > ∣ x , y ∈ A ∧ x ≤ y } \leq = \{ <x,y> | x,y \in A \land x \leq y \} ≤={<x,y>∣x,y∈A∧x≤y}

( 2 ) 小于等于关系分析

实数集 A A A 上的小于等于关系 ( ≤ \leq ≤ ) 分析 :

1.自反性质分析 : x x x 小于等于 x x x , x ≤ x x \leq x x≤x , 是成立的 , 小于等于关系是自反的 ;
2.反对称性质分析 : x x x 小于等于 y y y , y y y 小于等于 x x x , 推出 x = y x = y x=y , 符合反对称性质的定义 , 因此 小于等于关系是反对称的 ,
3.传递性质分析 : x x x 小于等于 y y y , y y y 小于等于 z z z , x x x 小于等于 z z z , 是成立的 , 因此 小于等于关系是传递的 ;
4.总结 : 综上所述 , 小于等于关系是偏序关系 ;

2. 大于等于关系

( 1 ) 大于等于关系说明

偏序集示例 2 ( 大于等于关系 ≥ \geq ≥ 是偏序关系 ) :

1.公式表示 : ∅ ̸ = A ⊆ R , < A , ≥ > \varnothing \not= A \subseteq R , <A , \geq > ∅̸=A⊆R,<A,≥>
2.语言描述 : 如果 A A A 是实数集 R R R 的子集 , 并且 A A A 不能是空集 ∅ \varnothing ∅ , 集合 A A A 中的大于等于关系 ( ≥ \geq ≥ ) , 是偏序关系 ;
3.使用集合形式表示关系 : ≥ = { < x , y > ∣ x , y ∈ A ∧ x ≥ y } \geq = \{ <x,y> | x,y \in A \land x \geq y \} ≥={<x,y>∣x,y∈A∧x≥y}

( 2 ) 大于等于关系分析

实数集 A A A 上的大于等于关系 ( ≥ \geq ≥ ) 分析 :

1.自反性质分析 : x x x 大于等于 x x x , x ≥ x x \geq x x≥x , 是成立的 , 大于等于关系是自反的 ;
2.反对称性质分析 : x x x 大于等于 y y y , y y y 大于等于 x x x , 推出 x = y x = y x=y , 符合反对称性质的定义 , 因此 大于等于关系是反对称的 ,
3.传递性质分析 : x x x 大于等于 y y y , y y y 大于等于 z z z , x x x 大于等于 z z z , 是成立的 , 因此 大于等于关系是传递的 ;
4.总结 : 综上所述 , 大于等于关系是偏序关系 ;

3. 整除关系

( 1 ) 整除关系说明

偏序集示例 3 ( 整除关系是偏序关系 ) :

1.公式表示 : ∅ ̸ = A ⊆ Z + = { x ∣ x ∈ Z ∧ x > 0 } < A , ∣ > \varnothing \not= A \subseteq Z_+ = \{ x | x \in Z \land x > 0 \}<A , | > ∅̸=A⊆Z+={x∣x∈Z∧x>0}<A,∣>
2.语言描述 : 如果 A A A 是正整数集 Z + Z_+ Z+ 的子集 , 并且 A A A 不能是空集 ∅ \varnothing ∅ , 集合 A A A 中的整除关系 ( ∣ | ∣ ) , 是偏序关系 ;
3.使用集合形式表示关系 : ∣ = { < x , y > ∣ x , y ∈ A ∧ x ∣ y } |= \{ <x,y> | x,y \in A \land x | y \} ∣={<x,y>∣x,y∈A∧x∣y}
4.整除关系 : x ∣ y x|y x∣y , x x x 是 y y y 的因子 , 或 y y y 是 x x x 的倍数 ;

( 2 ) 整除关系分析

正整数集 A A A 上的整除关系 ( ∣ | ∣ ) 分析 :

1.自反性质分析 : x x x 整除 x x x , x ∣ x x | x x∣x , 是成立的 , 整除关系 ( | ) 是自反的 ;
2.反对称性质分析 : x x x 整除 y y y , y y y 整除 x x x , 两个正整数互相都能整除 , 它们只能相等 , 推出 x = y x = y x=y , 符合反对称性质的定义 , 因此 整除关系是反对称的 ,
3.传递性质分析 : x x x 整除 y y y , y y y 整除 z z z , x x x 整除 z z z , 是成立的 , 因此 整除关系是传递的 ;
4.总结 : 综上所述 , 整除关系是偏序关系 ;

4. 包含关系

( 1 ) 包含关系说明

偏序集示例 4 ( 包含关系 ⊆ \subseteq ⊆ 是偏序关系 ) :

1.公式表示 : A ⊆ P ( A ) , ⊆ = { < x , y > ∣ x , y ∈ A ∧ x ⊆ y } \mathscr{A} \subseteq P(A) , \subseteq = \{<x , y> | x , y \in \mathscr{A} \land x \subseteq y \} A⊆P(A),⊆={<x,y>∣x,y∈A∧x⊆y}
2.语言描述 : 集合 A A A 上的幂集合 P ( A ) P(A) P(A) , P ( A ) P(A) P(A) 的子集合构成集族 A \mathscr{A} A , 该集族 A \mathscr{A} A 上的包含关系 , 是偏序关系 ;

( 2 ) 包含关系分析

分析集合的子集族之间的包含关系 :

① 假设一个比较简单的集合

A = { a , b } A=\{a, b\} A={a,b}

② 分析下面 A A A 的 3 个子集族 ;

A 1 = { ∅ , { a } , { b } } \mathscr{A}_1 = \{ \varnothing , \{a\} , \{b\} \} A1={∅,{a},{b}}

集族 A 1 \mathscr{A}_1 A1 包含空集 ∅ \varnothing ∅ , 单元集 { a } \{a\} {a} , 单元集 { b } \{b\} {b} ;

A 2 = { { a } , { a , b } } \mathscr{A}_2 = \{ \{a\} , \{a, b\} \} A2={{a},{a,b}}

集族 A 2 \mathscr{A}_2 A2 包含单元集 { a } \{a\} {a} , 2 元集 { a , b } \{a, b\} {a,b} ;

A 3 = P ( A ) = { ∅ , { a } , { b } , { a , b } } \mathscr{A}_3 = P(A) = \{ \varnothing , \{a\} , \{b\} , \{a, b\} \} A3=P(A)={∅,{a},{b},{a,b}}

集族 A 3 \mathscr{A}_3 A3 包含空集 ∅ \varnothing ∅ , 单元集 { a } \{a\} {a} , 单元集 { b } \{b\} {b} , 2 元集 { a , b } \{a, b\} {a,b} ; 这是集合 A A A 的幂集 ;

③ 列举出集族 A 1 \mathscr{A}_1 A1 上的包含关系 :

⊆ 1 = I A 1 ∪ { < ∅ , { a } > , < ∅ , { b } > } \subseteq_1 = I_{\mathscr{A}1} \cup \{ <\varnothing , \{a\}> , <\varnothing , \{b\}> \} ⊆1=IA1∪{<∅,{a}>,<∅,{b}>}

⊆ 1 \subseteq_1 ⊆1 是集合 A 1 \mathscr{A}1 A1 上的偏序关系 ;

即分析空集 ∅ \varnothing ∅ , 单元集 { a } \{a\} {a} , 单元集 { b } \{b\} {b} 三个集合之间的包含关系 :

1.恒等关系 I A 1 I_{\mathscr{A}1} IA1 : < { a } , { a } > 和 < { b } , { b } > <\{a\} , \{a\}> 和 <\{b\} , \{b\}> <{a},{a}>和<{b},{b}> , 集合上的恒等关系 , 每个集合肯定自己包含自己 ;
2. < ∅ , { a } > <\varnothing , \{a\}> <∅,{a}> : 空集肯定包含于集合 { a } \{a\} {a} ;
3. < ∅ , { b } > <\varnothing , \{b\}> <∅,{b}> : 空集肯定包含于集合 { b } \{b\} {b} ;
4.总结 : 这些包含关系的性质分析 :

① 自反 : 每个元素自己包含自己 , A ⊆ A A \subseteq A A⊆A , 包含关系具有自反性质 ;
② 反对称 : 如果集合 A ⊆ B A \subseteq B A⊆B , B ⊆ A B \subseteq A B⊆A , 那么 A = B A = B A=B , 显然 包含关系具有反对称性质 ;
③ 传递 : 如果 A ⊆ B A \subseteq B A⊆B , 并且 A ⊆ C A \subseteq C A⊆C , 那么有 A ⊆ C A \subseteq C A⊆C , 包含关系具有传递性质 ;

④ 列举出集族 A 2 \mathscr{A}_2 A2 上的包含关系 :

⊆ 2 = I A 2 ∪ { < { a } , { a , b } > \subseteq_2 = I_{\mathscr{A}2} \cup \{ <\{a\} , \{a, b\}> ⊆2=IA2∪{<{a},{a,b}>

⊆ 2 \subseteq_2 ⊆2 是集合 A 2 \mathscr{A}2 A2 上的偏序关系 ;

⑤ 列举出集族 A 3 \mathscr{A}_3 A3 上的包含关系 :

⊆ 3 = I A 3 ∪ { < ∅ , { a } > , < ∅ , { b } > , < ∅ , { a , b } > , < { a } , { a , b } > , < { b } , { a , b } > } \subseteq_3 = I_{\mathscr{A}3} \cup \{ <\varnothing , \{a\}> , <\varnothing , \{b\}>, <\varnothing , \{a, b\}> , <\{a\} , \{a, b\}> , <\{b\} , \{a, b\}> \} ⊆3=IA3∪{<∅,{a}>,<∅,{b}>,<∅,{a,b}>,<{a},{a,b}>,<{b},{a,b}>}

⊆ 3 \subseteq_3 ⊆3 是集合 A 3 \mathscr{A}_3 A3 上的偏序关系 ;

5. 加细关系

( 1 ) 加细关系说明

偏序集示例 5 ( 加细关系 ⪯ 加细 \preceq_{加细} ⪯加细是偏序关系 ) :

1.加细关系描述 : A ̸ = ∅ A \not= \varnothing A̸=∅ , π \pi π 是由 A A A 的一些划分组成的集合 ;

⪯ 加细 = { < x , y > ∣ x , y ∈ π ∧ x 是 y 的加细 } \preceq_{加细} = \{<x , y> | x , y \in \pi \land x 是 y 的加细\} ⪯加细={<x,y>∣x,y∈π∧x是y的加细}

2.划分 :划分是一个集族 ( 集合的集合 ) , 其元素是集合又叫划分快 , 其中每个元素(集族中的元素)集合中的元素是非空集合 A A A 的元素 ;

① 该集族不包含空集 ;
② 该集族中任意两个集合都不想交 ;
③ 该集族中所有元素取并集 , 得到集合 A A A ;

( 2 ) 加细关系分析

分析集合的划分之间的加细关系 :

① 集合 A = { a , b , c } A = \{a, b, c\} A={a,b,c} , 下面的划分和加细都基于该集合进行分析 ;

② 下面列出集合 A A A 的 5 个划分 :

划分 1 : 对应 1 个等价关系 , 分成 1 类 ;

A 1 = { { a , b , c } } \mathscr{A}_1 =\{ \{ a, b, c \} \} A1={{a,b,c}}

划分 2 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ;

A 2 = { { a } , { b , c } } \mathscr{A}_2 = \{ \{ a \} , \{ b, c \} \} A2={{a},{b,c}}

划分 3 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ;

A 3 = { { b } , { a , c } } \mathscr{A}_3 = \{ \{ b \} , \{ a, c \} \} A3={{b},{a,c}}

划分 4 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ;

A 4 = { { c } , { a , b } } \mathscr{A}_4 = \{ \{ c \} , \{ a, b \}\} A4={{c},{a,b}}

划分 5 : 对应 3 个等价关系 , 分成 3 类 ; 每个元素自己自成一类

A 5 = { { a } , { b } , { c } } \mathscr{A}_5 = \{ \{ a \} , \{ b \}, \{ c \} \} A5={{a},{b},{c}}

③ 下面列出要分析的几个由划分组成的集合 :

集合 1 :

π 1 = { A 1 , A 2 } \pi_1 = \{ \mathscr{A}_1, \mathscr{A}_2 \} π1={A1,A2}

集合 2 :

π 2 = { A 2 , A 3 } \pi_2 = \{ \mathscr{A}_2, \mathscr{A}_3 \} π2={A2,A3}

集合 3 :

π 3 = { A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 } \pi_3 = \{ \mathscr{A}_1, \mathscr{A}_2, \mathscr{A}_3, \mathscr{A}_4, \mathscr{A}_5 \} π3={A1,A2,A3,A4,A5}

④ 集合 π 1 \pi_1 π1 上的加细关系分析 :

1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此加细关系中有 I π 1 I_{\pi 1} Iπ1 , < A 1 , A 1 > <\mathscr{A}_1 , \mathscr{A}_1> <A1,A1> , < A 2 , A 2 > <\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_2> <A2,A2> ;
2.其它加细关系 : A 2 \mathscr{A}_2 A2 划分中的每个划分块 , 都是 A 1 \mathscr{A}_1 A1 划分中块的某个划分块的子集合 , 因此有 A 2 \mathscr{A}_2 A2 是 A 1 \mathscr{A}_1 A1 的加细 , 记做 < A 2 , A 1 > <\mathscr{A}_2, \mathscr{A}_1> <A2,A1> ;
3.加细的定义 : A 1 \mathscr{A}_1 A1 和 A 2 \mathscr{A}_2 A2 都是集合 A A A 的划分, A 2 \mathscr{A}_2 A2 中的每个划分块 , 都含于 A 1 \mathscr{A}_1 A1 中的某个划分块中 , 则称 A 2 \mathscr{A}_2 A2 是 A 1 \mathscr{A}_1 A1 的加细 ;

- 4.加细关系列举 :

⪯ 1 = I π 1 ∪ { < A 2 , A 1 > } \preceq_1 = I_{\pi 1} \cup \{ <\mathscr{A}_2, \mathscr{A}_1> \} ⪯1=Iπ1∪{<A2,A1>}

⑤ 集合 π 2 \pi_2 π2 上的加细关系分析 :

1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此加细关系中有 I π 2 I_{\pi 2} Iπ2 , < A 3 , A 3 > <\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_3> <A3,A3> , < A 2 , A 2 > <\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_2> <A2,A2> ;
2.其它加细关系 : A 2 \mathscr{A}_2 A2 和 A 3 \mathscr{A}_3 A3 这两个划分互相不是加细 , 因此 该集合中没有其它加细关系 ;

- 4.加细关系列举 :

⪯ 2 = I π 2 \preceq_2 = I_{\pi 2} ⪯2=Iπ2

⑥ 集合 π 3 \pi_3 π3 上的加细关系分析 :

1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此加细关系中有 I π 3 I_{\pi 3} Iπ3 , < A 1 , A 1 > <\mathscr{A}_1 , \mathscr{A}_1> <A1,A1> , < A 2 , A 2 > <\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_2> <A2,A2>, < A 3 , A 3 > <\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_3> <A3,A3>, < A 4 , A 4 > <\mathscr{A}_4 , \mathscr{A}_4> <A4,A4>, < A 5 , A 5 > <\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_5> <A5,A5> ;
2.其它加细关系 :

① 与 A 5 \mathscr{A}_5 A5 划分相关的加细 : A 5 \mathscr{A}_5 A5 是划分最细的等价关系 , A 5 \mathscr{A}_5 A5 是其它所有划分的加细 , 因此有 < A 5 , A 4 > <\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_4> <A5,A4> , < A 5 , A 3 > <\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_3> <A5,A3> , < A 5 , A 2 > <\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_2> <A5,A2> , < A 5 , A 1 > <\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_1> <A5,A1> ;
② 与 A 1 \mathscr{A}_1 A1 划分相关的加细 : A 1 \mathscr{A}_1 A1 是划分最粗的等价关系 , 所有的划分都是 A 1 \mathscr{A}_1 A1 的加细 , 因此有 < A 5 , A 1 > <\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_1> <A5,A1> , < A 4 , A 1 > <\mathscr{A}_4 , \mathscr{A}_1> <A4,A1> , < A 3 , A 1 > <\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_1> <A3,A1> , < A 2 , A 1 > <\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_1> <A2,A1> ;

4.加细关系列举 :

⪯ 3 = I π 3 ∪ { < A 5 , A 4 > , < A 5 , A 3 > , < A 5 , A 2 > , < A 5 , A 1 > , < A 4 , A 1 > , < A 3 , A 1 > , < A 2 , A 1 > } \preceq_3 = I_{\pi 3} \cup \{ <\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_4> , <\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_3> , <\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_2> , <\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_1> , <\mathscr{A}_4 , \mathscr{A}_1>, <\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_1>, <\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_1> \} ⪯3=Iπ3∪{<A5,A4>,<A5,A3>,<A5,A2>,<A5,A1>,<A4,A1>,<A3,A1>,<A2,A1>}

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