一、存在性证明

存在性证明 : 肯定存在一些语言 , 不能被图灵机接受 ;


使用 语言 可以表示 计算问题 , 计算问题的个数与 实数 一样多 , 是 不可数的 ;

图灵机 的个数 与 自然数 一样多 , 是 可数的 ;


计算问题 要比 计算模型 多很多 , 计算问题 与 图灵机 之间不是 一一对应的 ;

肯定存在一个计算问题 , 找不出与之对应的图灵机 , 因此该计算问题肯定是 不可计算的 ,





二、证明 通用任务图灵机 A T M \rm A_{TM} ATM​ 语言 对应的计算模型一定是 不可判定 ( 对角线法 )

A T M \rm A_{TM} ATM​ 语言简介 :

将计算问题进行形式化 , M \rm M M 是图灵机 , w \rm w w 是字符串 , 如果 M \rm M M 图灵机 接受 w \rm w w 是字符串 , 将所有的可接受的 w \rm w w 是字符串放在一个集合中 , 组成的语言 称为 A T M \rm A_{TM} ATM​ 语言 ;

A T M = { < M , w > ∣ 图 灵 机 M 接 受 w 字 符 串 } \rm A_{TM} = \{ <M , w> | 图灵机 M 接受 w 字符串 \} ATM​={<M,w>∣图灵机M接受w字符串}

A T M \rm A_{TM} ATM​ 语言 称为 图灵机可接受的 ;


A T M \rm A_{TM} ATM​ 语言 是可计算的 , 但 不是可判定的 ;

该结论可以区分 可判定语言 与 可计算语言 ;

使用 对角线法 证明 ;

与博客 【计算理论】可判定性 ( 对角线方法 | 证明自然数集 N 与实数集 R 不存在一一对应关系 ) 中证明 自然数集 与 实数集 不能一一对应类似 ;


在 【计算理论】可判定性 ( 计算模型与语言 | 区分 可计算语言 与 可判定语言 | 证明 某语言是 可计算语言 | 通用任务图灵机 与 特殊任务图灵机 ) 博客中证明了 通用图灵机语言 是计算语言 , 本博客中证明 通用图灵机语言 不可判定 ;


使用反证法证明 :


图灵机的结果有 3 3 3 个状态 , 接受状态 , 拒绝状态 , Loop 不停机状态 ;

A T M \rm A_{TM} ATM​ 语言只包含 接受状态 的情况 ;


所有的图灵机 与 自然数集 一样多 , 所有的图灵机 是可以枚举出来的 , M 1 , M 2 , M 3 , ⋯   , M n \rm M_1 , M_2 , M_3, \cdots , M_n M1​,M2​,M3​,⋯,Mn​ 图灵机 ;

枚举事务 , 一定有先决条件 , 如自然数集 , 无穷一定是可数的 , 不可数的无穷 , 如实数集 , 不能像上面图灵机一样枚举 , 实数是无法进行枚举的 ;

可以枚举的无穷 , 一定是可数无穷 ; 图灵机个数与自然数一样多 , 是可数无穷 , 因此可以枚举出来 ;


垂直表格中是枚举出来的图灵机 , 水平表格中是图灵机语言的编码 ;

表格中的内容 , 如第一行第一列 , M 1 \rm M_1 M1​ 与 < m 1 > <m_1> <m1​> 交叉的项 , 表示 图灵机 M 1 \rm M_1 M1​ 在 < m 1 > <m_1> <m1​> 编码上进行运算 , 其运算结果是 接受状态 ;

对角线意外的项都是有结果的 , 与本次证明无关, 省略了 , 接受或拒绝 ;


< m 1 > <m_1> <m1​> < m 2 > <m_2> <m2​> < m 3 > <m_3> <m3​> ⋯ \cdots ⋯ < m n > <m_n> <mn​>
M 1 \rm M_1 M1​ 接受
M 2 \rm M_2 M2​ 拒绝
M 3 \rm M_3 M3​ 接受
⋮ \rm \vdots ⋮
M n \rm M_n Mn​ 拒绝

假设 : 存在一个 图灵机 H \rm H H , A T M A_{TM} ATM​ 语言 是可判定的 ;

表格中的 图灵机 H \rm H H 的结果是已知的 , 接受 或 拒绝 ;


构造 图灵机 D \rm D D , 根据图灵机语言编码 < m n > \rm <m_n> <mn​> 上的操作 :

图灵机 D \rm D D , 在 m 1 \rm m_1 m1​ 编码上的计算结果 , 主要查看第 1 1 1 行 , 第 1 1 1 列的 , 即 图灵机 M 1 \rm M_1 M1​ 在 < m 1 > <m_1> <m1​> 编码上的结果 , 该计算结果是 接收 的 , 那么 图灵机 D \rm D D 在 < m 1 > <m_1> <m1​> 编码 上的结果就设定相反的结果 , 拒绝 ;

图灵机 D \rm D D , 在 m 2 \rm m_2 m2​ 编码上的计算结果 , 主要查看第 2 2 2 行 , 第 2 2 2 列的 , 即 图灵机 M 2 \rm M_2 M2​ 在 < m 2 > <m_2> <m2​> 编码上的结果 , 该计算结果是 拒绝 的 , 那么 图灵机 D \rm D D 在 < m 2 > <m_2> <m2​> 编码上的结果就设定相反的结果 , 接收 ;

图灵机 D \rm D D , 在 m 3 \rm m_3 m3​ 编码上的计算结果 , 主要查看第 3 3 3 行 , 第 3 3 3 列的 , 即 图灵机 M 3 \rm M_3 M3​ 在 < m 3 > <m_3> <m3​> 编码上的结果 , 如果该计算结果是 接受 的 , 那么 图灵机 D \rm D D 在 < m 3 > <m_3> <m3​> 编码上的结果就设定相反的结果 , 拒绝 ;

⋮ \vdots ⋮

图灵机 D \rm D D , 在 m n \rm m_n mn​ 编码上的计算结果 , 主要查看第 n n n 行 , 第 n n n 列的 , 即 图灵机 M n \rm M_n Mn​ 在 < m n > <m_n> <mn​> 编码上的结果 , 如果该计算结果是 拒绝 的 , 那么 图灵机 D \rm D D 在 < m n > <m_n> <mn​> 编码上的结果就设定相反的结果 , 接收 ;


构造出的 D \rm D D 一定是图灵机 , 上述描述的算法对应的计算模型就是图灵机 ;


一定存在一个 k \rm k k , 图灵机 D \rm D D 就是 对应的 图灵机 M k \rm M_k Mk​ , 在上述表格对角线位置的结果 , 即在 < m k > \rm <m_k> <mk​> 编码上的计算结果 , 与 图灵机 D \rm D D 的结果是不同的 ;

这样就产生了矛盾 , 图灵机 D \rm D D 的计算结果 是 图灵机 M k \rm M_k Mk​ 在 < m k > \rm <m_k> <mk​> 编码上计算结果相反的结果 ; 而这两个图灵机是同一个图灵机 ;


因此假设 "存在一个 图灵机 H \rm H H , A T M A_{TM} ATM​ 语言 是可判定的 " 不成立 ,

通用任务图灵机 H \rm H H , A T M A_{TM} ATM​ 语言 是 不可判定的