一、P 类

P \rm P P 类 : ★

所有 能够被 确定性 单个带子图灵机 , 在 多项式时间 内 , 能够被 判定的计算问题 ( 语言类 ) ,

将这些问题放在一起 ( 广义并集 ⋃ \bigcup ⋃ ) , 组成一个整体 , 就称为 P \rm P P

符号化表示 : P = ⋃ k T I M E ( n k ) \rm P = \bigcup_k TIME( n^k ) P=⋃k​TIME(nk)


P \rm P P 类 , 就是定义 有效算法 所组成的类 ,

有效算法 , 就是在 多项式时间 内 , 可以执行完毕 , 得到一个确定的结果的算法 ;

确定的结果就是 接受状态 , 或 拒绝状态 ;


P \rm P P 类有效算法示例 : ★

① PATH

② 贪心算法

③ 动态规划算法

④ REGULAR

⑤ CFL


参考博客 : 【计算理论】计算复杂性 ( P 类 | 有效算法函数 | NP 直觉 | NP 简介 | NP 类严格数学定义 )





二、NP 类

验证机 : A \rm A A 语言 ( 计算问题 ) 的 验证机 V \rm V V ; ★

< w , c > \rm <w,c> <w,c> 含义 : 给定一个 输入 w \rm w w , w \rm w w 是输入字符串 , c \rm c c 是输入 w \rm w w 被接受的情况下的输入 , 即正确的输入 ;

A \rm A A 语言 ( 计算问题 ) 的 验证机 V \rm V V 条件 : 给定了正确的输入 c \rm c c , 让验证机 V \rm V V 进行一步步验证 , 如果 验证机 V \rm V V 接受了输入的字符串 c \rm c c , 称 验证机 V \rm V V 就是计算问题 A \rm A A 的验证机 ;


符号化表示 : A = { w : 验 证 机 V 接 受 < w , c > 中 正 确 的 输 入 c } \rm A = \{ w : 验证机 V 接受 <w,c> 中正确的输入 c \} A={w:验证机V接受<w,c>中正确的输入c}


验证操作 : 已经有了正确答案 c \rm c c , 有一个有限的规则 , 将正确答案 c \rm c c 每一步 , 代入有限规则中进行验证是否正确 ;

验证时间 : 已经有了正确答案 c \rm c c , 有一个有限的规则 , 将正确答案 c \rm c c 每一步 , 代入有限规则中进行验证是否正确 , 最后记录整个验证过程所花费的时间 ; 即 学习的过程 ;

N P \rm NP NP 计算问题要求 : 如果花费的时间 在 多项式时间 之内 , 就称 该问题是 N P \rm NP NP 对应的计算问题 ;


多项式时间验证机 : A \rm A A 语言 如果 可以在 多项式时间 内 可以 验证 的话 , 就称该语言 有一个 多项式时间验证机 ; ★


N P \rm NP NP 类就是有 多项式时间验证机 的 语言类 ( 计算问题集合 ) ; ★


1 . N P \rm NP NP 类算法举例 : ★

① 蛮力穷举算法 ;


2 . N P \rm NP NP 类包含 N P C \rm NPC NPC 类 ( N P \rm NP NP 完全 ) , N P C \rm NPC NPC 算法举例 : ★

① 布尔可满足性问题 SAT

② 3-SAT

③ 团问题 : 无向图中是否包含 k \rm k k 团 , k \rm k k 个节点两两之间有边相连 ;

④ 独立集问题

⑤ 顶点覆盖问题

⑥ 哈密顿路径问题

⑦ 旅行商问题

⑧ 子集和问题


3 . N P \rm NP NP 类中 , 既不属于 P \rm P P , 又不属于 N P C \rm NPC NPC 的问题也是存在的 , 如 : ★

① 图同构问题


参考博客 :





三、NPC 类 ( NP 完全 )

NPC 是 NP-Completeness ( NP 完全 ) 的简称 ;


NP 完全 定义 ★ :

如果 语言 B \rm B B 是 N P \rm NP NP 完全的 , 必须满足如下两个条件 :

① 是 N P \rm NP NP 问题 : 语言 B \rm B B 对应的计算问题必须在 N P \rm NP NP 中 , 换句话说就是可以找到一个多项式算法 , 可以验证该计算问题 ;

② 是 N P \rm NP NP 最难问题 : 在 N P \rm NP NP 中的任何计算问题 A \rm A A , 都可以在 多项式时间规约 到 B \rm B B , 也就是说在 N P \rm NP NP 中的任何计算问题 , 其难易程度都不会超过 B \rm B B , B \rm B B 是 N P \rm NP NP 中最难的问题 ;


N P \rm NP NP 中其它所有的计算问题的难以长度都不会超过 B \rm B B , B \rm B B 问题是 N P \rm NP NP 中最难的问题 ;


NP 完全命题 ★ : 如果 B \rm B B 问题是 N P \rm NP NP 完全的 , 并且 B \rm B B 能在 多项式时间规约 到 C \rm C C , 记作 B ≤ C \rm B \leq C B≤C , 则 C \rm C C 也是 N P \rm NP NP 完全的 ;



该命题是很重要的命题 , 验证一个命题是 N P \rm NP NP 完全的 , 需要满足上面的两个条件 , ① 是 N P \rm NP NP 问题 , ② 是 N P \rm NP NP 最难问题 ;

将计算问题与 N P \rm NP NP 中最难问题 B \rm B B 进行比较 , 是很难的 , 如果已经知道某个计算问题是 N P \rm NP NP 完全的 , 就不需要与 N P \rm NP NP 中所有问题进行比较 , 只与当前已知的 N P \rm NP NP 完全问题比较即可 ;


将 已知的 N P \rm NP NP 完全的 计算问题 B \rm B B , 与 要验证的 C \rm C C 问题 , 进行规约 , 就知道 C \rm C C 问题是否是 N P \rm NP NP 完全的 ;


历史已经找到了一个 N P \rm NP NP 完全问题 : 布尔可满足性问题 ( Boolean Satisfiability Problem；SAT ) ;


N P \rm NP NP 类包含 N P C \rm NPC NPC 类 ( N P \rm NP NP 完全 ) , N P C \rm NPC NPC 算法举例 : ★

① 布尔可满足性问题 SAT

② 3-SAT

③ 团问题 : 无向图中是否包含 k \rm k k 团 , k \rm k k 个节点两两之间有边相连 ;

④ 独立集问题

⑤ 顶点覆盖问题

⑥ 哈密顿路径问题

⑦ 旅行商问题

⑧ 子集和问题


参考博客 :





四、P 、NP 、NPC 三者关系

该观点目前认为是正确的 , 同样也没有严格的证明 ;


P ≠ N P \rm P \not= NP P​=NP 情况分析 : 如果 P ≠ N P \rm P \not= NP P​=NP , 则有

P < N P \rm P < NP P<NP , ★

N P \rm NP NP 完全 < N P \rm <NP <NP ★


N P \rm NP NP 问题 中包含了三种计算问题 : ★

① P \rm P P 问题

② N P \rm NP NP 完全问题

③ 其它问题 , 既不属于 P \rm P P 问题 , 又不属于 N P \rm NP NP 完全问题 ;


图同构问题 , 就属于 其它问题 , 既不属于 P \rm P P 问题 , 又不属于 N P \rm NP NP 完全问题 ;


N P \rm NP NP 难 问题 , 包含了 N P \rm NP NP 完全问题 , 不包含 P \rm P P 问题 和 N P \rm NP NP 中的其它问题 ;

【计算理论】计算理论总结 ( P 、NP 、NPC 总结 ) ★★_NPC


参考博客 : 【计算理论】计算复杂性 ( NP 完全问题 | NP 难 问题 P = NP 的情况 | NP 难 问题 P ≠ NP 的情况 )