python布尔运算 python布尔代数运算规则

设$B=\{0,1\}$，定义$B$上的或、与、非运算如下

构成布尔代数$(B,\vee,\wedge,\neg)$。

Python中所有的关系运算结果均为布尔值：非True即False。常用关系运算符罗列如下：

	运算符	含义
(1)	<	严格小于
(2)	<=	小于或等于
(3)	>	严格大于
(4)	>=	大于或等于
(5)	==	等于
(6)	!=	不等于
(7)	in	元素在集合内

分别用运算符“or”、“and”和“not”表示$\vee$、$\wedge$和$\neg$。关系运算和布尔代数是程序设计中循环和分支语句的灵魂，在下面的例子中可见一斑。
例1 设$P$为一数域，$n\in$ℕ，由符号$x$，常数$a_0,a_1,\cdots,a_{n-1}\in P$构成的表达式
$a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}$
称为数域$P$上$x$的一元多项式，简称为多项式。其中，符号$x$称为变元，$a_ix^i$称为$i$次项，$a_i$为$i$次项的系数，$i=0,1,2,\cdots,n-1$。非零系数最大下标$k(<n)$，称为多项式的次数。$k=0$时，$0$次多项式即为一常数$a_0\not=0$。定义常数$0$为特殊的零多项式，零多项式是唯一没有次数的多项式。为统一计，规定零多项式次数为$-1$。常用$f(x),g(x),\cdots$表示多项式。数域$P$上所有次数小于$n\in$ℕ的一元多项式构成的集合记为$P[x]_n$。系数序列$[a_0,a_1,\cdots,a_{n-1}]$确定了$f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}\in P[x]_n$。希望用Python根据存储在数组a中的系数序列，输出表示对应的多项式表达式的字符串：
$\text{a[0]+a[1]・x+a[2]・x**2+……+a[n-1]・x**(n-1)}$
其中，a[i]表示多项式的第i次项系数$a_i$在数组a中的第i个元素值。约定：零多项式的系数序列为空“[ ]”。
解：解决本问题需考虑如下几个关键点：

1. 零多项式需特殊处理；
2. 常数项，也就是0次项不带变元x的幂；
3. 1次项的变元x不带幂指数a[1]・x；
4. 负系数自带与前项的连接符“$-$”，非负项系数需在前加入连接符“$+$”；
   Python中的list类对象和numpy的array类对象均可作为存储序列的数组，为解决本问题的Python代码如下。

import numpy as np                          #导入numpy
from fractions import Fraction as F         #导入Fraction
def exp(a):                                 #多项式表达式
    n=len(a)                                #系数序列长度
    s=''                                    #初始化空串
    if n==0:                                #零多项式
        s=s+'0'
    else:                                   #非零多项式
        for i in range(n):                  #对每一项
            if i==0:                        #常数项
                s=s+'%s'%a[i]
            if i==1 and a[i]>=0:            #非负1次项
                s=s+'+%s・x'%a[i]
            if i==1 and a[i]<0:             #负1次项
                s=s+'%s・x'%a[i]
            if i>1 and a[i]>=0:             #非负项
                s=s+'+%s・x**%d'%(a[i],i)
            if i>1 and a[i]<0:              #负项
                s=s+'%s・x**%d'%(a[i],i)
    return s                                #返回表达式串
a=[1,-2,1]
b=[F(0),F(-1,2),F(0),F(1,3)]
c=np.array([0.0,-0.5,0.0,1/3])
d=[]
print(exp(a))
print(exp(b))
print(exp(c))
print(exp(d))

本程序中第3~24行定义的函数名为exp，参数表中仅含一个表示存储多项式系数序列的数组a。函数定义体内罗列出函数处理数据的操作步骤。exp函数中，第4行调用Python的len函数计算数组a的长度，即所含元素个数，赋予变量n。Python中的字符串类型实现了代数系统$(\Sigma^*,+)$，其中$\Sigma$为ASCII码符号集，+运算连接两个字符串。Python的串常量是用单引号括起来的一个字符序列，第5行将表达式串初始化为空串’ ‘。第6_{19行的**if-else**分支语句根据a的长度是否为0分别处理零多项式和非零多项式。对于零多项式，第7行直接将单字符串’0’添加到空串s之后。处理非零多项式的第9}19行的for循环语句，扫描数组a，处理多项式的每一项。第10~11行的if语句处理常数项，注意第11行中连接到s尾部的’%s’%a[i]称为格式串。串中’%s’称为格式符，意为以串的格式加载单引号后面的数据项a[i]。格式串的一般形式为
$\text{$
含格式符串中格式符的个数与数据项表中数据项个数必须相同，若数据项表中仅有一个数据项，括号可省略如第11行中的格式串。常用格式符包含表示字串格式%s，十进制整数格式%d，十进制浮点型格式%f，……等等。类似地，第12~13行处理非负的1次项；第14~15行处理负的1次项；第16~17行处理以后的非负项；第18~19行处理负系数项。循环结束，第20行返回串s。
程序的第21行用list类对象a表示多项式$1-2x+x^2$的系数序列[1, -2, 1]，其中的元素为整数型数据；第22行也是用list对象b表示多项式$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x^3$的系数序列，元素类型为Fraction；第23行用numpy的array对象c的数组array([0.0,-0.5,0.0,1/3])表示多项式$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x^3$的系数序列，注意numpy的array类对象可以用list对象[0.0,-0.5,0.0,1/3]做初始化；第24行用空的list对象d表示零多项式系数序列。第25~{}28行分别调用exp函数输出a、b、c、d的表达式串。运行程序，输出

1-2・x+1・x**2
0-1/2・x+0・x**2+1/3・x**3
0.0-0.5・x+0.0・x**2+0.3333333333333333・x**3
0

本程序定义的创建多项式表达式串的函数exp将系数为$0$的项也表示在表达式中，显得有点笨拙。建议看官修改exp，在所创建的表达式串中忽略系数为$0$的项。