矩阵代数概论

矩阵代数

共轭转置

对于矩阵$A=[a_{ij}]$，共轭矩阵被定义为$\overline{A}=[\overline{a}_{ij}]$，所以$A$的共轭转置$\overline{A}^T=\overline{A^T}$，其中$\overline{A}^T$记为$A^*$。
$\begin{pmatrix}1-4\text{i}&\text{i}&2\\3&2+\text{i}&0\end{pmatrix}^*=\begin{pmatrix}1+4\text{i}&3\\-\text{i}&2-\text{i}\\2&0\end{pmatrix}$
其中符合如下规则
$\begin{aligned}\left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)^T&=\mathbf{A}^T+\mathbf{B}^T\quad\text{ and }\quad\left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)^*=\mathbf{A}^*+\mathbf{B}^*.\\\\\left(\alpha\mathbf{A}\right)^T&=\alpha\mathbf{A}^T\quad\text{ and }\quad\left(\alpha\mathbf{A}\right)^*=\overline{\alpha}\mathbf{A}^*.\end{aligned}$

线性系统
$f(\alpha x+y)=\alpha f(x)+f(y)$
其中满足
$(AB)^*=B^*A^*\\ trace(ABC)=trace(BCA)=trace(CBA)\not=trace(BAC)$
若$A_{n\times n}$是非奇异矩阵，则$rank(A)=n$，即A可以通过Gauss-Jordan方法变为单位阵
$\begin{aligned} A&\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}I\\ [\mathbf{A}\mid\mathbf{I}]&\xrightarrow{\text{Gauss}-\text{Jordan}} [ \mathbf{I}\mid\mathbf{A}^{-1}] \end{aligned}$

等价矩阵

若存在矩阵$PAQ=B$则称A与B是等价矩阵，其中$P,Q$为非奇异矩阵

若B由A矩阵可以经过行变换获得，则称B与A行等价，即
$\mathbf{A}\overset{\mathrm{row}}{\operatorname*{\sim}}\mathbf{B}\Longleftrightarrow\mathbf{P}\mathbf{A}=\mathbf{B}\quad\mathrm{for~a~nonsingular~}\mathbf{P}$
若B由A矩阵可以经过列变换获得，则称B与A列等价，即
$\mathbf{A}\overset{\mathrm{col}}{\operatorname*{\sim}}\mathbf{B}\Longleftrightarrow\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathbf{B}\quad\mathrm{for~a~nonsingular~}\mathbf{Q}$
若存在一个矩阵$A_{n\times m}$，其中$\text{rank}(A)=r$，则
$\mathbf{A}\sim\mathbf{N}_r=\begin{pmatrix}\mathbf{I}_r&\mathbf{0}\\\mathbf{0}&\mathbf{0}\end{pmatrix}$

LU分解

若存在下三角矩阵$L$与上三角矩阵$U$，其中$LU=A$，则被称为A的LU分解，其中U矩阵是高斯消元法的产物，L矩阵则对角线上是1，其中$l_{ij}$是被用于高斯消元法中消去$(i,j)$位置上的数字

若在LU分解中存在0主元则无法进行LU分解，则可以利用行交换来实现A的LU分解。即$PA=LU$

当 $\xi$ 取什么值时，矩阵 $\left.\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}\xi&2&0\\[0.3em]1&\xi&1\\[0.3em]0&1&\xi\end{array}\right.\right)$不存在 LU分解

当 $\xi=0,\pm\sqrt{2},\pm\sqrt{3}$，时矩阵 $A$不存在LU分解

下列条件矩阵不存在LU分解
1、矩阵不为方阵时
2、矩阵的顺序主子式为0时
3、矩阵的行列式为0时

LU分解存在的条件

1. A必须是非奇异矩阵
2. 在约减成上三角矩阵时候，没有0主元